高考数学 第十一章 第一节 空间向量及其运算课件 理 苏教版.pptVIP

第十一章空间向量与立体几何第一节空间向量及其运算 1 空间向量的有关概念及线性运算 1 空间向量的概念 0 1个单位长度 相等 相同 相等 相反 相同 相反 同一平面内 2 空间向量的加 减 数乘运算空间向量的加 减 数乘运算是平面向量运算的推广 如图 设a b是空间任意两向量 若 a b p oc 加法 减法 数乘 a b a b a 3 空间向量加法 数乘运算满足的运算律 交换律 a b 结合律 a b c a r r 分配律 a b r b a a b c a a b 2 空间向量的有关定理 b a xa yb xe1 ye2 ze3 3 空间向量的数量积及运算律 aob a b 0 a b a b cos a b a b b a a b a c a b 4 空间向量的坐标运算 1 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b均为非零向量 a1b1 a2b2 a3b3 0 a1b1 a2b2 a3b3 2 空间两点间的距离公式设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 对于任意两个空间向量a b 若a b 0 则a b 3 在向量的数量积运算中 a b c a b c 4 对于非零向量b 由a b b c 则a c 5 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 解析 1 正确 由于向量可平移 因此空间任意两向量都可平移到同一起点 故空间任意两向量共面 2 错误 若a与b是非零向量 才有a b 0 a b 3 错误 因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量 a b c c a b c a 故 a b c与a b c 不一定相等 4 错误 根据向量数量积的几何意义 a b b c说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等 而不是a c 5 错误 两向量夹角的范围是 0 两异面直线所成角的范围是 0 答案 1 2 3 4 5 考向1空间向量的线性运算 典例1 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设 a b c m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 1 2 3 思路点拨 用已知向量表示未知向量时 在转化时要结合向量的线性运算 规范解答 1 p是c1d1的中点 a a c b 2 n是bc的中点 a b a b a b c 3 m是aa1的中点 a a c b a b c 又c a a b c a c a b c 互动探究 在本例中 若o为底面abcd对角线ac与bd的交点 试用a b c表示向量 解析 a c b a b c 拓展提升 空间向量线性运算的方法空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同 提醒 1 进行向量的加法运算时 若用三角形法则 必须使两向量首尾相接 若用平行四边形法则 必须使两向量共起点 2 进行向量减法时 必须使两向量共起点 变式备选 如图 已知空间四边形oabc 其对角线为ob ac m n分别是对边oa bc的中点 点g在线段mn上 且mg 2gn 用基底向量表示向量 解析 考向2共线向量定理 共面向量定理的应用 典例2 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 用向量法证明 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 思路点拨 1 证明根据共面向量定理即可得到结论 2 证明与共线 然后根据线面平行的判定定理解题即可 规范解答 1 e f g h分别是空间四边形abcd的边的中点 e f g h四点共面 2 由题意知又bd 平面efgh eh 平面efgh bd 平面efgh 拓展提升 空间共线向量定理 共面向量定理的应用 变式训练 如图所示 已知abcd是平行四边形 p点是平面abcd外一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 1 试用向量法证明e f g h四点共面 2 试判断平面efgh与平面abcd的位置关系 并用向量法证明你的判断 解析 1 分别连接pe pf pg ph并延长交对边于m n q r点 因为e f g h分别是所在三角形的重心 所以m n q r为所在边的中点 连接mn nq qr rm得到的四边形为平行四边形 且有 连接mq eg 因为四边形mnqr是平行四边形 所以又所以即由共面向量定理知e f g h四点共面 2 由 1 得所以又因为eg 平面abcd 所以eg 平面abcd 因为所以mn ef 又因为ef 平面abcd 所以ef 平面abcd 由于eg与ef交于e点 所以平面efgh 平面abcd 考向3空间向量的数量积及其应用 典例3 如图 在平行四边形abcd中 ab ac cd 1 acd 90 把 adc沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求bd的长 思路点拨 由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系 然后用表示根据求解 规范解答 ab与cd成60 角 60 或120 又 ab ac cd 1 ac cd ac ab 2或 bd的长为2或 互动探究 本例中若折起后bd的长为2 求此时ad与bc所成的角的余弦值 解析 由已知与的夹角为135 在 bdc中 由余弦定理得 ad与bc所成角的余弦值为 拓展提升 1 空间向量数量积的计算方法 1 定义法 a b a b cos a b 2 坐标法 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 解题时可根据条件灵活选择方法 2 数量积的应用 1 求夹角 cos a b 进而可求两异面直线所成的角 2 求长度 距离 运用公式 a 2 a a 可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 3 解决垂直问题 利用a b a b 0 a 0 b 0 可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 变式备选 如图所示 在空间直角坐标系中 bc 2 原点o是bc的中点 点a的坐标是 点d在平面yoz上 且 bdc 90 dcb 30 1 求向量的坐标 2 设向量和的夹角为 求cos 的值 解析 1 如图所示 过d作de bc 垂足为e 在rt bdc中 由 bdc 90 dcb 30 bc 2 得bd 1 cd de cd sin30 oe ob bd cos60 d点坐标为即向量的坐标为 2 依题意知 所以则 1 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 点m在ac1上且n为b1b的中点 求的值 解析 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则a a 0 0 c1 0 a a n a a 设m x y z 点m在ac1上且 x a y z x a y a z 于是 2 已知a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若a b c三向量共面 求实数 的值 解析 由题意设c ta b 2t t 4 3t 2 即 的值为 3 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 1 2 eg的长 3 异面直线eg与ac所成角的大小 解析 设 a b c 则 a b c 1 a b b c c a 60 c a a b c 1 c a a a c a2 2 即的长为 3 由 2 知 故异面直线eg与ac所成的角为45 方法技巧 用向量法解题的常见类型及常用方法1 常见类型利用向量可解决空间中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 常用的解题方法 1 基向量法先选择一组基向量 把其他向量都用基向量表示 然后根据向量的运算解题 2 坐标法根据条件建立适当的空间直角坐标系 并求出相关点的坐标 根据向量的坐标运算解题即可 4 已知o 0 0 0 a 1 2 3 b 2 1 2 p 1 1 2 点q在直线op上运动 当取最小值时 求q的坐标 解析 o 0 0 0 p 1 1 2 1 1 2 点q在直线op上运动 故可设q点的坐标为 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 2 10 6 6 2 16 10 当 时 取得最小值 此时q点的坐标是 5 已知空间中三点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 设 1 若 c 3 且c 求向量c的坐标 2 若m a b n a b 与2a b垂直 求m n应满足的关系式 解析 1 由条件得 1或 1 c 2 1 2 或c 2 1 2 2 由条件得a b 0 1 2 a b 2 1 2 2a b 3 2 2 m a b n a b 2n m n 2m 2n m a b n a b 与2a b垂直 m a b n a b 2a b 3 2n 2 m n 2 2m 2n 12n 2m 0 m 6n 即当m 6n时 可使m a b n a b 与2a b垂直 6 2013 南通模拟 已知空间三点a 0 2 3 b 2 1 6 c 1 1 5 1 求以ab ac为边的平行四边形的面积 2 若向量a分别与垂直 且 a 求a的坐标 解析 1 2 设a x y z a a 且 a 解得或 a 1 1 1 或a 1 1 1 7 已知 e1 e2 e3 为空间的一个基底 且 1 判断p a b c四点是否共面 2 能否以作为空间的一个基底 若不能 说明理由 若能 试以这一基底表示向量 思路点拨 根据共面向量定理证明第 1 小题 利用不共面的三个向量可表示一个基底的理论依据判断第 2 小题 并用待定系数法求向量 用向量表示的式子 解析 1 假设四点共面 则存在实数x y z使且x y z 1 即2e1 e2 3e3 x e1 2e2 e3 y 3e1 e2 2e3 z e1 e2 e3 比较对应的系数 得到一个关于x y z的方程组解得与x y z 1矛盾 故四点不共面 2 若向量共面 则存在实数m n使同 1 可证 这不可能 因此可以作为空间的一个基底 令由e1 2e2 e3 a 3e1 e2 2e3 b e1 e2 e3 c 联立得到方程组 从而解得所以 8 四棱锥p abcd中 底面abcd是一个平行四边形 pa 底面abcd 2 1 4 4 2 0 1 2 1 1 求四棱锥p abcd的体积 2 对于向量a x1 y1