高考数学一轮复习 8.3 圆的方程精品课件 理 新人教A版.ppt

8 3圆的方程 1 圆的标准方程设圆心为c a b 半径为r 则圆的标准方程为 当圆心在坐标原点时 圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 r2 考点分析 2 圆的一般方程 1 当时 方程x2 y2 dx ey f 0叫做圆的一般方程 它表示圆心为 半径为的圆 2 当d2 e2 4f 0时 方程x2 y2 dx ey f 0表示一个点 3 当d2 e2 4f 0时 方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 不表示任何图形 3 点p x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 当 x0 a 2 y0 b 2r2时 点p在圆外 2 当 x0 a 2 y0 b 2r2时 点p在圆上 3 当 x0 a 2 y0 b 2r2时 点p在圆内 求与x轴相切 圆心在直线3x y 0上 且被直线x y 0截得的弦长为2的圆的方程 分析 先由条件确定选用圆的标准方程还是一般方程 再由待定系数法确定常数大小 考点一求圆的方程 题型分析 解析 设所求的圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 则圆心 a b 到直线y x 0的距离为 r2 2 即2r2 a b 2 14 由于所求的圆与x轴相切 r2 b2 又 所求圆心在直线3x y 0上 3a b 0 联立 解得a 1 b 3 r2 9或a 1 b 3 r2 9 故所求的圆的方程为 x 1 2 y 3 2 9或 x 1 2 y 3 2 9 评析 求圆的方程时 据条件选择合适的方程形式是关键 1 当条件中给出的是圆上几点坐标 较适合用一般式 通过解三元一次方程组来得相应系数 2 当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上 圆的切线方程 圆的弦长等条件 适合用标准式 对应演练 1 已知 abc的三个顶点分别为a 1 5 b 2 2 c 5 5 求其外接圆的方程 2 已知圆c过点p 1 2 和点q 2 3 且圆c在两坐标轴上截得的弦长相等 求圆c的方程 1 解法一 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则由题意有 d 5e f 26 0d 4 2d 2e f 8 0e 25d 5e f 50 0 f 20 故所求圆的方程为x2 y2 4x 2y 20 0 解得 解法二 由题意可求得ac的中垂线方程为x 2 bc的中垂线方程为x y 3 0 圆心p是两中垂线的交点 2 1 半径r ap 5 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 25 即x2 y2 4x 2y 20 0 2 解法一 如图所示 由于圆c在两坐标轴上所截弦长相等 即ad eg 它们的一半也相等 即ab gf 又ac gc rt abc rt gfc bc fc 设c a b 则 a b 又圆c过点p 1 2 和q 2 3 圆心在pq的垂直平分线上 即在y 3 x 上 即在y 3x 4上 b 3a 4 a 1a 2b 1b 2 r 或5 故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 5或 x 2 2 y 2 2 25 即x2 y2 2x 2y 3 0或x2 y2 4x 4y 17 0 由 知a b 代入 得 或 解法二 设圆c的方程为x2 y2 dx ey f 0 圆c过点p 1 2 和点q 2 3 12 22 d 2e f 04 9 2d 3e f 0 e 3d 8f 11 7d 圆c的方程为x2 y2 dx 3d 8 y 11 7d 0 将y 0代入得x2 dx 11 7d 0 圆c在x轴上截得的弦长为 x1 x2 解得 将x 0代入得y2 3d 8 y 11 7d 0 圆c在y轴上截得的弦长为 y1 y2 由题意有 即d2 4 11 7d 3d 8 2 4 11 7d 解得d 4或d 2 故圆c的方程为x2 y2 4x 4y 17 0或x2 y2 2x 2y 3 0 已知圆x2 y2 x 6y m 0和直线x 2y 3 0交于p q两点 且op oq o为坐标原点 求该圆的圆心坐标及半径 分析 1 利用垂直列出坐标之间的关系 再化为关于m的方程求解 2 op oq得到o点在以pq为直径的圆上 再利用勾股定理求解 3 利用圆的性质列出m的方程求解 考点二圆的方程的综合问题 解析 解法一 将x 3 2y 代入方程x2 y2 x 6y m 0 得5y2 20y 12 m 0 设p x1 y1 q x2 y2 则y1 y2满足条件 y1 y2 4 y1y2 op oq x1x2 y1y2 0 而x1 3 2y1 x2 3 2y2 x1x2 9 6 y1 y2 4y1y2 m 3 此时 0 圆心坐标为 3 半径r 解法二 如图所示 设弦pq中点为m o1m pq o1m的方程为y 3 2 x 即y 2x 4 y 2x 4x 2y 3 0 则以pq为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 op oq 点o在以pq为直径的圆上 0 1 2 0 2 2 r2 即r2 5 mq2 r2 在rt o1mq中 o1q2 o1m2 mq2 1 2 3 2 2 5 m 3 半径为 圆心为 3 解得m的坐标为 1 2 由方程组 解法三 设过p q的圆系方程为x2 y2 x 6y m x 2y 3 0 由op oq知 点o 0 0 在圆上 m 3 0 即m 3 圆的方程可化为x2 y2 x 6y 3 x 2 y 3 0 即x2 1 x y2 2 3 y 0 圆心m 又圆在pq上 2 3 3 0 1 m 3 圆心为 3 半径为 评析 1 在解决与圆有关的问题中 借助于圆的几何性质 往往会使得思路简捷明了 简化思路 简便运算 2 本题中三种解法都是用方程思想求m值 即三种解法围绕 列出m的方程 求m值 对应演练 如图所示 矩形abcd的两条对角线相交于点m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在ad边所在直线上 1 求ad边所在直线的方程 2 求矩形abcd外接圆的方程 3 若动圆p过点 2 0 且与矩形abcd的外接圆外切 求动圆p的圆心的轨迹的方程 1 因为ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 且ad与ab垂直 所以直线ad的斜率为 3 又因为点t 1 1 在直线ad上 所以ad边所在直线的方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 x 3y 6 0 3x y 2 0 因为矩形abcd两条对角线的交点为m 2 0 所以m为矩形abcd外接圆的圆心 又 am 从而矩形abcd外接圆的方程为 x 2 2 y2 8 解得点a的坐标为 0 2 2 由 3 因为动圆p过点n 所以 pn 是该圆的半径 又因为动圆p与圆m外切 所以 pm pn 2 即 pm pn 2 故点p的轨迹是以m n为焦点 实轴长为2的双曲线的左支 因为实半轴长a 半焦距c 2 所以虚半轴长b 从而动圆p的圆心的轨迹方程为 x 考点三圆的最值问题 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 分析 方程x2 y2 4x 1 0表示圆心为 2 0 半径为的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 y x可看作直线y x b在y轴上的截距 x2 y2可看作是圆上一点与原点距离的平方 可借助于平面几何知识 利用数形结合求解 解析 解法一 1 原方程化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 以3为半径的圆 设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值和最小值 此时 解之得k 故的最大值为 最小值为 2 设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 此时 即b 2 故y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方 由平面几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 故 x2 y2 max 2 2 7 4 x2 y2 min 2 2 7 4 解法二 1 同上 x 2 cos y sin y x sin cos 2 sin 2 y x的最大值为 2 最小值为 2 3 由 2 知x2 y2 2 cos 2 sin 2 4 4cos 3 7 4cos x2 y2的最大值为7 4 最小值为7 4 2 令 r 评析 与圆有关的最值问题 可借助图形性质 利用数形结合求解 一般地 形如的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题等 对应演练 已知点p x y 是圆 x 2 2 y2 1上任意一点 1 求p点到直线3x 4y 12 0的距离的最大值和最小值 2 求x 2y的最大值和最小值 3 求的最大值和最小值 1 圆心c 2 0 到直线3x 4y 12 0的距离为 p点到直线3x 4y 12 0的距离的最大值为d r 1 最小值为d r 1 2 设t x 2y 则直线x 2y t 0与圆 x