广东省连州市高三数学 《4.空间点、线、面之间的位置关系》课件 新人教A版.ppt

空间点 线 面之间的位置关系 一 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 经过 有且只有一个平面 推论1 经过 有且只有一个平面 推论2 经过 有且只有一个平面 推论3 经过 有且只有一个平面 两个点 不共线的三点 一条直线和这条直线外的一点 两条相交直线 两条平行直线 作用 用于判断直线是否在平面内 作用 用于判断点 线共面 公理3 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有 一条通过这个点的公共直线 作用 用于判断点共线 线共点 作截面 1 下列判断中 错误的是 公理的辨析应用 公理1 公理3 公理2 2 下面是一些命题的叙述语 其中命题和叙述方法都正确的是 题型一 证明若干点或直线共面 2 先由部分元素确定一个平面 再证明其余元素在这平面内 1 先由部分元素确定若干平面 再证明这些平面重合 通常有两种思路 例 已知a b c a d a b d b c d c 求证 a b c d共面 题型二 证明点共线 通常证明这些点都是某两个平面的公共点 例 如图 在四面体abcd中作截面pqr 若pq cb的延长线交于m rq db的延长线交于n rp dc的延长线交于k 求证 m n k三点共线 题型三 证明三线共点 通常先证其中的两条直线相交于一点 然后再证第三条直线经过这一点 例 已知空间四边形abcd中 e h分别是边ab ad的中点 f g分别是边bc cd上的点 且求证 三条直线ef gh ac交于一点 题型四 作截面 例 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab 3 aa1 4 m为aa1的中点 n是cc1上的点 且cn 1 p是bc上一点 且cp 2 请作出平面mnp截此三棱柱所得的截面 截面mnpq为所求 即作出截面与几何体每个面的交线 两个公共点 课堂小结 三个公理的应用 3 作交线和截面 2 证明点共线或线共点 1 证明若干点或直线共面 二 空间两直线的位置关系 1 空间两直线位置关系有 平行 在同一个平面内 没有公共点 相交 有且只有一个公共点 异面 不同在任何一个平面内 2 平行直线 1 公理4 2 等角定理 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边 且方向相同 那么这两个角相等 共面 3 异面直线所成的角 1 定义 设a b是异面直线 经过空间任一点o 分别引直线 则直线所成的锐角 或直角 叫异面直线a b所成的角 2 范围 3 求法 平移法 补形法 向量法 设直线ab和cd所成的角为 则 例 设a b c是空间的三条直线 下面给出四个命题 若a b b c 则a c 若a b是异面直线 b c是异面直线 则a c也是异面直线 若a和b相交 b和c相交 则a和c也相交 若a和b共面 b和c共面 则a和c也共面 其中真命题的个数是 答案 0 题型一 异面直线的判定 判定定理 连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 例 已知异面直线m n 若a b m c d n 则直线ac bd的位置关系是 异面直线 证明两条直线是异面直线 通常用反证法 定义法 排除平行 相交 定理法 题型二 求异面直线所成的角 1 四面体abcd中 e f分别是ac bd的中点 若cd 2ab 2 ef ab 则ef与cd所成的角等于 30 2 12陕西理5 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1 ca cc1 2cb 则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为 a b 例1 长方体abcd a1b1c1d1 ab aa1 2cm ad 1cm 求异面直线a1c1与bd1所成的角的余弦值 如图 连b1d1与a1c1交于o1 o1 m 由余弦定理得 取bb1的中点m 连o1m 则o1m d1b 解法一 平移法 连a1m 在 a1o1m中 所以所求异面直线所成角的余弦值为 或其补角 在 a1c1e中 由余弦定理得 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面bc1的方体b1f 连结a1e c1e b d a c 解法二 补形法 1 a 则 a1c1e为a1c1与bd1所成的角 或补角 所以所求异面直线所成角的余弦值为 1 平移法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选择在特殊的位置上 常用中位线 平行四边形 证明作出的角即为所求的角 利用三角形来求角 2 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 一作二证三求 最终结果一定要注意角的范围 2 07 全国 7 正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 练习 12四川理14 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成角的大小是 三 直线和平面的位置关系 1 直线在平面内 有无数个公共点 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 3 直线与平面平行 没有公共点 例1 06 重庆 对于任意的直线l与平面 在平面 内必有直线m 使m与l a 平行b 相交c 垂直d 互为异面直线 c 例2 07 浙江 6 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过点p有且仅有一条直线与l m都异面 b 四 平面与平面的