沙国祥--数学思想方法

1 数学思想方法数学思想方法 沙国祥 一 数学归纳法 数学归纳法综合了归纳和演绎 是解决与自然数有关的问题的重要思想方法 数学归纳法的基本形式 基本形式的归纳法 设 P n 是关于正整数 n 的命题 若 1 P 1 成立 2 假设 P k 成立 可以推出 P k 1 成立 则 P n 对一切正整数 n 都成立 上述的基本形式中 已经蕴含 可以假设n k k 为任意正整数 时 P n 1 n k 成 立 推出 P k 1 成立 则 P n 对一切正整数 n 都成立 跳跃数学归纳法 设 P n 是关于正整数 n 的命题 若 1 P 1 P 2 P l 成立 2 假设 P k 成立 可以推出 P k l 成立 则 P n 对一切正整数 n 都成立 螺旋数学归纳法 翘翘板归纳法 设命题 P n Q n 是两个与正整数有关的命题 满足 1 P 1 真 1 对于任何正整数 k 若 P k 成立 则 Q k 成立 若 Q k 成立 则 P k 1 成立 则对一切正整数 n P n Q n 都成立 另一种形式 1 P 1 Q 1 真 2 对于任何正整数 k 若 P k 和 Q k 成立 则 P k 1 和 Q k 1 成立 则对一切正整数 n P n Q n 都成立 倒推归纳法 设 P n 是关于正整数 n 的命题 若 1 存在无穷多个自然数使命题 P n 成立 2 假设 P k 1 成立 可推出 P k 成立 则 P n 对一切正整数 n 都成立 1 1 实数数列 an 满足 a0 0 1 a1 1 a0 an 1 1 an 1 an n 1 2 3 证明 对任意正 整数 n 都有 a0a1 an 1 2008 年中国西部 MO 第一 1 a0 1 a1 1 an 2 题 2 在梵城地下有一个僧侣的秘密组织 那里 立有 3 个大型的塔柱 左边的塔柱上由大到小 套着 64 个金盘 僧侣们的工作是要把这 64 个 金盘从左边塔柱转移到右边塔柱上去 但转移过 程有严格规定 即每次只能搬动一只盘子 盘 子只能在 3 个塔柱上安放 不允许放地上去 在每个塔柱上 只允许把小盘子叠在大盘子上 传说僧侣们完成这个任务时 世界的末日就 来临了 用数学归纳法求出搬动金盘的最少总次数 按这样的搬法 世界末日 会来临吗 经典问题欣赏之梵塔问题 汉纳塔问题 3 实数数列 an 满足 ai j ai aj i j N 证明 对任意 n N 都有 a1 an a2 2 a3 3 an n 4 对任意大于 2 的整数 n 存在一个正整数的完全立方 使得它可以表示成 n 个不同正整 数的立方和 5 数列 an 满足 an an 1 an 3 an 4 n 4 从第一项开始 其前几项依次为为 1 1 2 4 6 数列 fn 定义为 fn 2 fn 1 fn 且 f1 1 f2 2 求证 a2n fn2 a2n 1 fn fn 1 n N 6 设有 n 个正数 a1 a2 a3 an 定义 算术平均数 An 几何平均数 a1 a2 an n Gn 则 An Gn 经典问题欣赏之均值不 n a1a2 an 等式 7 7 证明 存在正整数的无穷数列 an a1 a2 a3 使得对所有正整数 n a12 a22 an2都是完全平方数 二 极端原理 1 平面上有n n 3 个点 任意三点不共线 证明 存在 3 点A B C 使其余n 3 个 点都在 ABC外 2 将凸n边形的边与对角线染上红 蓝两色之一 使得没有三边均为蓝色的三 n AAA 21 角形 对k 1 2 n 记是由顶点引出的蓝色边的条数 求证 k b k A 2010 年江苏省高中数学联赛江苏赛区复赛题 2 12 2 n n bbb 3 1 求证 一个数列a1 a2 a2n 1 中各项相等的充分必要条件是 其中任意 2n 项中存在 n 项 其和等于另外n项的和 2009 年清华大学自主招生试 3 题 2 若干个球装在 2n 1 个口袋中 如果任意取走 1 袋 总可以把余下的 2n袋分成两 组 每组n袋 并且这两组的球的个数相等 证明 每个袋中的球的个数都相等 1990 年 意大利数学竞赛试题 4 试求方程x3 2y3 4z3 0 的所有整数解 5 如图 已知两个正方形各顶点处的数等于相邻 3 个顶点处 的数的平均值 试探求这 8 个数之间的大小关系 6 6 平面上有 n 个点 其中过任意两点的直线都经过第三点 证明 这 n 个点必在同一条直线上 经典问题欣赏之西尔维斯特问 题 7 7 已知实数列具有下列性质 存在自然数 n 满足 1 n k a 及 12 0 n aaa 3 2 1 kaa kkn 求证 存在自然数 N 使当时 总有0 1 2 k 0 kN Ni i a 三 构造法 1 1 对于正整数 n 定义 Sn为和式的最小值 其中 a1 a2 an是 n k k ak 1 2 2 12 正实数 它们的和为 17 证明存在唯一的正整数 n 使 Sn也是一个正整数 并求这个 n 2 2 设实数 a b x y 满足方程组求的值 22 33 44 3 7 16 42 axby axby axby axby 55 axby 3 对于正整数 n 设 C n 为用 2 的幂之和表示 n 的方法数 这里 2 的幂是按非增顺序排列 的 而且在和式中使用每个 2 的幂不能超过 3 次 例如 8 用 2 的幂的和表示的方法数 有 5 种 8 4 4 4 2 2 4 2 1 1 2 2 2 1 1 证明或否定 对所有的 正整数 n 有一个多项式 P n 使得 C n P n 这里的 u 表示不超过 u 的最大整 数 4 已知 a1 a2 an互不相等 求满足下面方程组的 x1 x2 xn的值 b d a c AB CD 4 12 11121 12 21222 12 12 1 1 1 n n n n n nnnn xxx ababab xxx ababab xxx ababab 5 1 构造一个多项式函数 f x 使得 f x1 l1 f x2 l2 f x3 l3 f xn ln 经典问题欣赏之拉格朗日插值公式 2 当时 多项式取整数值 求证 1 0 1 2xxxx 32 p xaxbxcxd 对于所有的整数 这个多项式都取整数值 x 6 证明 对任意整数 存在一个次多项式4 nn 01 1 1 axaxaxxf n n n 具有如下性质 1 均为正整数 110 n aaa 2 对任意正整数 及任意个互不相同的正整数 均有m 2 kk k rrr 21 2011 年全国高中数学联赛加试题 21k rfrfrfmf 7 7 求证 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 8 8 设有两个有理数的 n 元集合 元素允许重复 a1 an b1 bn 假设集 合 ai aj 1 i j n bi bj 1 i j n 证明 n 是 2 的方幂 9 1 若平面上的每个点都涂上 3 种颜色中的一种 是否一定存在涂有同一种颜色的两个 点 它们之间的距离恰为 1 2 在 1 中 若用 9 种颜色 代替 3 种颜色 会有什么结果 四 抽屉原理 1 1 证明 存在无穷多个正整数 这些数都是 2005 的倍数 而且每个数写出十进制后 0 1 9 出现的个数相等 2005 年奥地利数学奥林匹 克试题 2 设为无理数 试证明 对任意的正整数 存在整数 满足 n nqqp n pq 1 经典问题欣赏之狄利克雷定理 5 3 3 1 证明 在全世界所有人中任选 6 个人 其中一定有 3 个人 他们之间或者互相认 识 或者互相不认识 经典问题欣赏之拉姆塞定理简单情 形 2 17 个科学家 其中每个人和其他所有的人都通信 在他们的通信中 只讨论 3 个题 目 而且每两个科学家之间只讨论 1 个题目 求证 至少有 3 个科学家相互之间在 讨论同一