【创新课堂】高考数学总复习 专题03 第8节 正、余弦定理的应用举例课件 文.ppt

第八节正 余弦定理的应用举例 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线 叫仰角 目标视线在水平视线 叫俯角 如图 2 方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为a 如图 3 坡角 坡面与水平面所成的角 上方时 下方时 正北 知识汇合 分析 如图所示 由条件可知 acd是等腰直角三角形 故只要求出ac即可 在 abc中 ab可知 cab cba都可知 利用正弦定理可求出ac 例1 一货轮在海上由西向东航行 在a处望见灯塔c在货轮的东北方向 半小时后在b处望见灯塔c在货轮的北偏东30 方向 若货轮的速度为30nmile h 当货轮航行到d处望见灯塔c在货轮的西北方向时 求a d两处的距离 典例分析 解 如图所示 在 abc中 cab 45 abc 90 30 120 acb 180 45 120 15 ab 30 0 5 15 nmile 则由正弦定理 得 即 又 sin15 sin120 ac 15 nmile 在 acd中 a d 45 acd是等腰直角三角形 ad ac 15 3 nmile a d两处的距离为15 3 nmile nmile 题型二高度问题 例2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40m后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔的最大仰角为30 求塔高 分析 依题意画出示意图形如图 在 bdc中 可用正弦定理求bd的长 要使仰角 aeb最大 即使tan aeb最大 由于ab是塔高 是定值 故只要be最小就可以了 显然be dc时be为最小 即be长可求出 然后在rt abe中求出塔高ab的长 解 如图所示 在 bdc中 cd 40m bcd 90 60 30 dbc 180 45 135 由正弦定理 得 bd 20 m 在rt abe中 tan aeb ab为定值 若要使仰角 aeb最大 则be要最小 即be cd 这时 aeb 30 在rt bed中 bde 180 135 30 15 be bdsin bde 20sin15 10 1 m 在rt abe中 ab betan aeb 10 1 tan30 3 m 塔的高度为 3 m 题型三角度问题 例3 甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60 方向的b处 两船相距10海里 乙船向正北行驶 若甲船速度是乙船的倍 问 甲船应向什么方向行驶才能追上乙船 解 如图 设乙船行驶了x海里 则甲船行驶了x海里 两船在c处相遇 在 abc中 abc 120 ab 10 bc x ac x 由余弦定理可知 x 2 100 x2 20 xcos120 即x2 5x 50 0 x 10或x 5 舍去 abc是顶角为120 的等腰三角形 所以 bac 30 故甲船应向北偏东30 方向前进才能追上乙船 高考体验 1 在某次测量中 在a处测得同一半平面方向的b点的仰角是60 c点的俯角为70 则 bac a 10 b 50 c 120 d 130 d 解析 如图 由已知 bad 60 cad 70 bac 60 70 130 练习巩固 2 若p在q的北偏东44 则q在p的 a 东偏北46 b 东偏北44 c 南偏西44 d 西偏南44 c 解析 如图 依题意知 aqp 44 则点q在p点的南偏西44 3 有一长为1的斜坡 它的倾斜角为20 现高不变 将倾斜角改为10 则斜坡长为 a 1b 2sin10 c 2cos10 d cos20 c 解析 abc 20 ab 1 adc 10 abd 160 在 abd中 由正弦定理 ad ab 2cos10 4 如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 测得 bcd 15 bdc 30 cd