高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 3直线与圆的方程的应用 1 能利用直线与圆的方程解决平面几何问题 2 能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题 直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 把代数运算结果 翻译 成几何结论 这是用坐标方法解决平面几何问题的 三步曲 又简称为 一建二算三译 解决与圆相关的实际问题的步骤剖析 解决此类问题的基本步骤如下 1 阅读理解 认真审题 做题时 读懂题中的文字叙述 理解叙述中所反映的实际背景 领悟从背景中概括出来的数学实质 尤其是理解叙述中的新名词 新概念 进而把握新信息 在此基础上 分析出已知什么 求什么 涉及哪些知识 以确定变量之间的关系 审题时要抓住题目中关键的量 实现应用问题向数学问题的转化 2 引进数学符号或圆的方程 建立数学模型 根据已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立方程 组 或函数关系式 将实际问题转化为一个数学问题 实现问题的数学化 即建立数学模型 如果题目已经告知曲线是圆 则需要建立适当的平面直角坐标系 设出圆的方程 为求解方程或计算做准备 3 利用数学的方法将得到的常规数学问题 即数学模型 予以解答 求得结果 4 翻译成具体问题 题型一 题型二 例1 如图 在半径为1的圆o上任取点c为圆心 作一圆与圆o的直径ab相切于点d 圆c与圆o交于点e f 求证 ef平分cd 题型一 题型二 证明 以ab所在直线为x轴 以ab的中点o为原点建立平面直角坐标系 如图所示 则圆o的方程为x2 y2 1 题型一 题型二 反思1 用坐标法解决几何问题时 先用坐标和方程表示相应的几何元素 点 直线 圆 将几何问题转化为代数问题 然后通过代数运算解决代数问题 最后解释代数运算结果的几何含义 得到几何问题的结论 2 用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题 题型一 题型二 变式训练1 如图 rt abc的斜边长为定值2m 以斜边的中点o为圆心作半径为n的圆 直线bc交圆于p q两点 求证 ap 2 aq 2 pq 2为定值 证明 如图 以o为坐标原点 以直线bc为x轴 建立平面直角坐标系 于是有b m 0 c m 0 p n 0 q n 0 设a x y 由已知 点a在圆x2 y2 m2上 ap 2 aq 2 pq 2 x n 2 y2 x n 2 y2 4n2 2x2 2y2 6n2 2m2 6n2 定值 题型一 题型二 例2 某圆拱桥的示意图如图所示 该圆拱的跨度ab是36m 拱高op是6m 在建造时 每隔3m需用一个支柱支撑 求支柱a2p2的长 精确到0 01m 题型一 题型二 解 如图 以线段ab所在的直线为x轴 线段ab的中点o为坐标原点建立平面直角坐标系 则点a b p的坐标分别为 18 0 18 0 0 6 设圆拱所在的圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 因为点a b p在圆拱所在的圆上 所以 题型一 题型二 故圆拱所在的圆的方程是x2 y2 48y 324 0 将点p2的横坐标x 6代入上式 解得答 支柱a2p2的长约为5 39m 题型一 题型二 反思在实际问题中 遇到有关直线和圆的问题 通常建立坐标系 利用坐标法解决 建立适当的直角坐标系应遵循三点 1 若曲线是轴对称图形 则可选它的对称轴为坐标轴 2 常选特殊点作为直角坐标系的原点 3 尽量使已知点位于坐标轴上 建立适当的直角坐标系 会简化运算过程 题型一 题型二 变式训练2 一座圆形拱桥 当水面在l位置时 拱顶离水面2m 水面宽为12m 问 水面下降1m后 水面宽多少米 解以拱桥的拱顶为坐标原点 以过拱顶的竖直直线为y轴 建立平面直角坐标系 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b a在b的右侧 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r