高中数学 模块综合复习课4 导数及其应用课件 北师大版选修11.ppt

第4课时导数及其应用 知识网络 要点梳理 填一填 瞬时变化率 导数在实际问题中的应用 导数的计算 导数与函数的单调性 实际问题中导数的意义 常用导数公式 导数的四则运算法则 知识网络 要点梳理 知识网络 要点梳理 4 导数的几何意义 1 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率等于函数f x 在x x0处的导数值f x0 2 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 5 利用导数研究函数单调性 1 利用导数求函数单调区间的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 在定义域内 解不等式f x 0得到函数的递增区间 解不等式f x 0得到函数的递减区间 2 根据单调性求参数取值范围 函数f x 在区间i上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 知识网络 要点梳理 6 利用导数研究函数的极值与最值 1 应用导数求函数极值的一般步骤 确定函数f x 的定义域 解方程f x 0的根 检验f x 0的根的两侧f x 的符号 若左正右负 则f x 在此根处取得极大值 若左负右正 则f x 在此根处取得极小值 否则 此根不是f x 的极值点 2 求函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值的方法与步骤 求f x 在 a b 内的极值 将 求得的极值与f a f b 相比较 其中最大的一个值为最大值 最小的一个值为最小值 知识网络 要点梳理 7 利用导数研究函数 方程 不等式的综合问题利用导数研究下列问题 1 函数的零点个数问题 2 方程的根的问题 3 不等式恒成立问题 4 证明不等式问题 5 解不等式问题 6 比较大小问题 知识网络 要点梳理 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 经过点a x0 y0 作曲线y f x 的切线 则切线斜率等于f x0 2 若函数f x 在区间 a b 上单调递减 则在区间 a b 上必有f x f x 恒成立 则a f x min 答案 1 2 3 4 5 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 答案 b 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题二导数的几何意义 例2 1 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 2 2015课标 高考 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 解析 1 y 5ex 则k 5 e0 5 所以所求切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 当x 1时 k y 2 切线方程为y 2x 1 由y 2x 1与y ax2 a 2 x 1联立 得ax2 ax 2 0 再由相切知 a2 8a 0 解得a 0或a 8 当a 0时 y ax2 a 2 x 1并非曲线而是直线 a 0舍去 故a 8 答案 1 5x y 2 0 2 8 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 反思感悟利用导数研究曲线的切线问题 务必要注意所给点是否在曲线上 若点在曲线上 则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率 若所给点不在已知曲线上 则应先设出切点坐标 再结合两点连线的斜率公式建立联系求解 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 变式训练2若曲线y ax2 lnx在点 1 a 处的切线平行于x轴 则a 解析 点 1 a 在曲线y ax2 lnx上 切线与曲线在点 1 a 处相切 f 1 2a 1 切线的斜率为2a 1 又由切线与x轴平行 2a 1 0 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题三利用导数研究函数单调性 例3 已知函数f x x2 4x 2 a lnx a r 1 当a 8时 求f x 的单调区间 2 若f x 在 2 上单调递增 求a的取值范围 3 若f x 存在单调递减区间 求a的取值范围 分析 1 将a的值代入 确定定义域 求导数 然后解不等式即得 2 转化为f x 0在 2 恒成立求解 3 转化为不等式f x 0在定义域上有解进行处理 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题四利用导数研究函数的极值与最值 例4 已知函数f x x3 3ax2 2bx在x 1处有极小值 1 1 求函数f x 的单调区间 2 求函数f x 在闭区间 2 2 上的最大值和最小值 分析 1 根据条件可得f 1 0 f 1 1 求出a b的值得到函数解析式 再利用导数解不等式得到单调区间 2 按照求最值的步骤求解即可 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 2 由 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 由表中数据知 函数f x 在x 2处取得最大值2 在x 2处取得最小值 10 函数f x 在闭区间 2 2 上的最大值为2 最小值为 10 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 1 若函数f x 在x 2处取得极小值 求a的值 2 若a 0 求f x 在 0 1 上的最大值 解 1 f x x2 2a 1 x a2 a x a x a 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 a 1 2 a 1 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题五利用导数研究函数 方程 不等式的综合问题分析 1 将a b的值代入 然后研究函数的极值 并结合单调性求出最值 2 方程有唯一实数解 亦即相应函数图像与x轴只有一个交点 可先研究函数的极值情况 并结合图像分析 得到m的值 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 1 若f x 在 2 5 上单调递减 求实数a的取值范围 2 若f x 0对任意x 0恒成立 求实数a的最小值 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 令g x 2x xlnx 因此g x 2 lnx 1 1 lnx 显然当00 即得g x 在 0 e 上是增函数 当x e时 g x 0 即得g x 在 e 上是减函数 所以g x max g e e 故a e 即a的最小值为e 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 考点一导数的运算1 2013江西高考 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 解析 令ex t 则x lnt f t lnt t f 1 2 答案 2 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 考点二导数的几何意义a 0 1 b 0 2 c 0 d 1 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 a 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2016全国丙高考 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 解析 当x 0时 x 0 f x ex 1 x 因为f x 为偶函数 所以f x f x ex 1 x 因为f x ex 1 1 所以f 1 2 所求切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 答案 y 2x 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015课标全国 高考 已知函数f x ax3 x 1的图像在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 即切线斜率k 3a 1 又f 1 a 2 已知点为 1 a 2 5 a 3a 1 解得a 1 答案 1 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2016全国乙高考 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故当x ln 2a 1 时 f x 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 考点四利用导数研究函数的极值与最值7 2016四川高考 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2解析 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 易得f x 在 2 2 上单调递减 在 2 2 上单调递增 故f x 极小值为f 2 由已知得a 2 故选d 答案 d 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2015安徽高考 函数f x ax3 bx2 cx d的图像如图所示 则下列结论成立的是 a a 0 b0 d 0b a 0 b0c a0 d 0d a 0 b 0 c 0 d 0答案 a 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 2016山东高考 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 考点五利用导数解决实际问题10 2014陕西高考 如图 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 相切 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分 则该函数的解析式为 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 由已知图形 可知该三次函数有0和2两个零点 因此可设其解析式为y ax x 2 x m 因为y ax x 2 x m ax3 amx2 2ax2 2amx 所以y 3ax2 2amx 4ax 2am 又因为直线y x和y 3x 6分别是该三次函数图像在点 0 0 和 2 0 处的切线 由导数的几何意义知y x 0 1 y x 2 3 答案 a 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 2015江苏高考 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为l1 l2 山区边界曲线为c 计划修建的公路为l 如图所示 m n为c的两个端点 测得点m到l1 l2的距离分别为5千米和40千米 点n到l1 l2的距离分别为20千米和2 5千米 以l2 l1所在的直线分别为x y轴 建立平面直角坐标系xoy 假设曲线c符合函数 其中a b为常数 模型 1 求a b的值 2 设公路l与曲线c相切于p点 p的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式f t 并写出其定义域 当t为何值时 公路l的长度最短 求出最短长度 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 考点六利用导数研究函数 方程 不等式的综合问题12 2015课标全国 高考 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0成立的x的取值范围是 a 1 0 1 b 1 0 1 c 1 1 0 d 0 1 1 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f x 为奇函数 且由f 1 0 得f 1 0 故f 1 0 在区间 0 1 上 f x 0 在 1 上 f x 0 当x 1时 f x 0 当x 1 0 时 f x 0的解集为 1 0 1 故选a 答案 a 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 2016全国甲高考 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 2016全国丙高考 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 3 设c 1 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解 1 导数与函数的单调性 令f x 0解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 专题归纳 高考体验 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 2016北京高考 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f