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变化角度思考问题武汉六中 姬义波有些问题，如果从正面思考往往绞尽心智也寸步难行，若遇到这种情况时，不妨改变一下思维习惯，从不同的方向去考虑问题，以此冲破思维定势的束缚，把我们的解题思路导向光明。下面举例说明改变思考角度的几种常见方法。一、直接求解有思维困难时，考虑间接求解例1 已知四边形ABCD的对角线ACBD，H为垂足，BAD与BCD的角平分线都通过BD上的G点，且ABAD，试证：ABDCBD。分析：此题直接证明难于找到突破口，考虑角平分线此桥梁，则容易找到解题途径。证明：ACBD ABH、ADH、BCH、CDH皆为Rt AB2-AD2=（BH2+AH2）-（AH2+DH2） =BH2-DH2=（BH2+CH2）-（DH2+CH2） =BC2-CD2 GA与GC分别是BAD与BCD的角平分线， 把代入得：，AD=CD 再由得AB=BC，ABDCBD例2 已知是方程的一个根，求的个位数字。分析：同样直接解无法突破，而观察，不难看到解题途径解：是方程的一个根 ，而（在实数范围内），则 ，故的个位数字是7二、顺推有困难时，考虑逆推例3 设100个实数满足，并且已知，求的值。分析：若将解出来很是繁琐，如果先考虑为一整体，再据理倒推，则容易得解。解：由得 当时，当时， 当时，当时， 当时，当时， 综上加得： 则 而当时， 故例4 把一堆西瓜的一半又半个分给第一人，再把剩下的一半又半个分给第二人，把每一次所剩西瓜的一半又半个分给下一个人，照此下去分给第9人后恰好分完。问这堆西瓜至少有多少个？分析：因为第9次分完后就知道没有剩余了，而题意中又有一种递推关系，所以倒着想把问题给简化了。解：设这堆西瓜至少的个，分给第个人后剩下的西瓜为，则 由于分给第9人后恰好分完，则，于是可推知 即这堆西瓜至少有511个。 三、探求可能性有困难时，探求不可能性 例5 已知方程和中，至少有一个方程有实数根，求的取值范围。 分析：如果逐一讨论每个方程较为繁杂，若从反面来看，就只研究两个方程中均无实根的情况，显然简单得多。 解：若两个方程均无实根，则，那么则此不等式组无解集说明找不到这样的实根使得两个方程均无实根故当为任意实数时上述两个方程中至少有一个方程有实根 四、用常规方法难于求解时，考虑反常规方法例6 设， 求的值。分析：常规方法用杨辉三角公式展开后，再把系数相加，此种方法既繁又不实用，若采用赋值法则简单明白。解：令，则例7 若，求证：分析：常规方法难以寻找突破口，若把看成单位长为1的正方形内部一点，问题就迎刃而解了。解：如图，在坐标系中构造正方形OABC，OA=1，而位于正方形内,而正方形四个顶点的坐标为：，则由于三角形任两边之和大于第三边，故P点为AC与OB的交点时，PO+PA+PB+PC的值最小，即故 五、在小范围内寻解有困难时，考虑扩大范围例8 设为正实数，且，证明：分析：用代数方法解将很困难，注意到已知中的，则考虑用三角函数来破解。证明：令，则 即例9 试确定的整数部分的个位数字是几？分析：直接判定无良方时，考虑的特性，再构造一个等式， 运用二项式定理推理则易得。解：令，则由二项式展开化简得： （M为自然数）， 又因，所以， 那么的整整部分为，而的个位数字是零， 故的个位数字是9总之，思考问题不能一味循规蹈矩，死搬书本，应该把思维的发散，