湖北省八校2016届第一次联考理科数学

1 湖北省湖北省 八校八校 2016 届高三第一次联考数学试题 理科 命题学校 孝感高中 命题人 周 浩 姚继元 王国涛 审题人 袁小幼 谭 志 考试时间 2015 年 12 月 7 日下午 15 00 17 00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 则 2 2 230 log 1 2 Ax xxBxx RAB A B C D 1 3 1 3 3 5 1 5 2 命题 若 则 的否命题为 22 0 xy 0 xy A 若 则且 B 若 则或 22 0 xy 0 x 0y 22 0 xy 0 x 0y C 若 则且 D 若 则或 22 0 xy 0 x 0y 22 0 xy 0 x 0y 3 欧拉公式 为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发明的 它将指数函数的定义域cossin ix exix i 扩大到复数 建立了三角函数和指数函数的关系 它在复变函数论里占有非常重要的地位 被誉为 数学 中的天桥 根据欧拉公式可知 表示的复数在复平面中位于 2i e A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 函数则 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 5 2 ff A B C D 1 2 1 5 1 2 5 等差数列前项和为 且 则数列的公差为 n an n S 20162015 1 20162015 SS n a A B C D 1220152016 6 若 则的大小关系ln2 5ab 0 1 sin 4 cxdx a b c A B C D abc bac cba bca 7 已知 则 1 sincos 63 cos 2 3 A B C D 5 18 5 18 7 9 7 9 8 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形 如图所示 则该几何体的体积等于 A B C D 12 316 320 332 3 9 已知函数的周期为 若将其图象沿轴向右平移个单位 所得 2 1 sin 0 2 f xx xa 0a 图象关于原点对称 则实数的最小值为a A B C D 3 4 2 4 10 如图所示 在正六边形 ABCDEF 中 点 P 是 CDE 内 包括边界 的一个动点 设 则的取值范围是 APAFABR A B C D 3 4 2 3 4 3 5 2 2 3 2 4 11 若一个四棱锥底面为正方形 顶点在底面的射影为正方形的中心 且该四棱锥的体积为 9 当其外接 球表面积最小时 它的高为 鄂南高中 华师一附中 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 黄冈中学 1 2 第 10 题图 第 8 题图 2 3 2 A B C D 32 22 33 3 12 关于函数 下列说法错误的是 2 lnf xx x A 是的极小值点2x f x B 函数有且只有 1 个零点 yf xx C 存在正实数 使得恒成立k f xkx D 对任意两个正实数 且 若 则 12 x x 21 xx 12 f xf x 12 4xx 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知平面直角坐标系中 则向量在向量的方向上的投影是 b 3 4 a b 3 ab 14 若函数 为偶函数 则实数 1 02 1 20 xx f x x 2 2g xf xax x a 15 设实数 x y 满足约束条件则的最大值为 20 2 xy yx 2zxy 16 如图所示 已知中 为边上的一点 为上ABC 90C 6 8ACBC DACKBD 的一点 且 则 ABCKADAKD DC 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在等比数列中 n a 33 39 S 22 a 求数列的通项公式 n a 设 且为递增数列 若 求证 2 21 6 log n n b a n b 1 1 n nn c bb 123 1 4 n cccc 18 本小题满分 12 分 如图 中 三个内角 成等差数列 且 ABC BAC10 15ACBC 求的面积 ABC 已知平面直角坐标系 点 若函数xOy 10 0D 的图象经过 三点 且 sin 0 0 2 f xMxM ACDA 为的图象与轴相邻的两个交点 求的解析式 D f xx f x 19 本小题满分 12 分 如图 已知长方形中 为的中点 将ABCD2 2AB 2AD MDC 沿折起 使得平面 平面 ADM AMADMABCM 求证 ADBM 若点是线段上的一动点 问点在何位置时 二面EDBE 角的余弦值为 EAMD 5 5 20 本小题满分 12 分 小明同学制作了一个简易的网球发射器 可用于帮忙练习定点接发球 如图 1 所 示 网球场前半区 后半区总长为 23 77 米 球网的中间部分高度为 0 914 米 发射器固定安装在后半区离 球网底部 8 米处中轴线上 发射方向与球网底部所在直线垂直 为计算方便 球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算 发射器和网球大小均忽略不计 如图 2 第 16 题图 第 19 题图 第 18 题图 3 第 22 题图 所示 以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 x 轴在地平面上的球场中轴线上 y 轴垂xOy 直于地平面 单位长度为 1 米 已知若不考虑球网的影响 网球发射后的轨迹在方程 表示的曲线上 其中与发射方向有关 发射器的射程是指网球落地点的 22 11 1 0 280 ykxkxk k 横坐标 求发射器的最大射程 请计算在什么范围内 发射器能将球发过网 即网球飞行到球网正上空时 网球离地距离大于k 1 米 若发射器将网球发过球网后 在网球着地前 小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面 2 55 米处的击球点正好击中网球 试问击球点的横坐标最大为多少 并请说明理由 a 21 本小题满分 12 分 已知函数 e x f xxR 若直线与的反函数的图象相切 求实数 k 的值 ykx f x 设 且试比较三者 a bR 22 f af bf af bab ab AfBC ab A B C 的大小 并说明理由 请考生在第请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答时用三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答时用 2B 铅笔在答铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑 题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 是圆的直径 点在弧上 点为弧的中点 作于点BCOFBCABFADBC 与交于点 与交于点 DBFADEBFACG 证明 若 求圆的半径 AEBE 9 7AGGC O 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 极坐标与参数方程 已知曲线的极坐标方程为 将曲线 为参数 经C2 sincos10 1 cos sin x C y 过伸缩变换后得到曲线 3 2 xx yy 2 C 求曲线的参数方程 若点在曲线上运动 试求出到曲线的距离的最小值 2 CM 2 CMC 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式证明选讲 已知函数 且满足 的解集不是空集 1020f xxx 1010f xa aR 第 20 题图 图 1 图 2 4 求实数的取值集合 若求证 aA bA ab abba a ba b 湖北省湖北省 八校八校 2016 届高三第一次联考数学试题 理科 参考答案 一 选择题 ADBAB DCCDB AC 二 填空题 10 3 5 1 2 7 3 三 解答题 17 1 时 2 分1q 3 2 n a 时 4 分1q 1 1 6 2 n n a 2 由题意知 6 分 1 1 6 2 n n a 21 1 6 4 n n a 8 分2 n bn 10 分 1111 11 2 2n 2 4 n 1 41 n c nnnn 12 分 123 111 1 414 n cccc n 18 1 在 ABC 中 1 分60B 由余弦定理可知 2 分 222 2cos60abcbc 4 分 2 101250cc 55 6cAB 又 10 cos605AO 5 6BO 6 分 125 55 6 5 3 3 23 22 ABC S 2 T 2 10 5 30 8 分 15 5 Msin 5 0 15 f sin 0 3 3 kkZ 10 分 2 3 12 分 0 Msin5 3 3 f M10 x 10sin 153 fx 19 1 证明 长方形 ABCD 中 AB AD M 为 DC 的中点 222 AM BM 2 BM AM 平面 ADM 平面 ABCM 平面 ADM 平面 ABCM AM BM 平面 ABCM BM 平面 ADM AD 平面 ADM AD BM 6 分 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆州中 学 5 2 建立如图所示的直角坐标系 设 则平面 AMD 的一个法向量 DEDB 0 1 0 n 设平面 AME 的一个法向量为 1 2 1 MEMDDB 2 0 0 AM mx y z 取 y 1 得所以 9 分 20 2 1 0 x yz 2 0 1 1 xyz 2 0 1 1 m 因为 求得 所以 E 为 BD 的中点 12 分 5 cos 5 m n m n mn 1 2 20 由得 或 2 分 22 11 1 0 280 kxkx 2 40 1 k x k 0 x 由 当且仅当时取等号 因此 最大射程为 20 米 5 分 4040 20 1 2 x k k 1k 网球发过球网 满足时 所以 即 因此8x 1y 2 4 4 1 1 5 kk 2 42090kk 19 22 k 8 分 依题意 关于 k 的方程 在上有实数解 即 22 11 1 2 55 280 kaka 1 9 2 2 9 分 222 402040a kaka 得 11 分 222 40204 0 a kakaa 222 160042040aaa 14a 此时 球过网了 所以击球点的横坐标 a 最大为 14 12 分 10 7 k 22 1 的反函数为 2 分 f xln yx 设切点为 则切线斜率为故 4 分 00 ln xx 0 00 ln1 x k xx 0 1 xe k e 2 不妨设 2 22 2 0 22 ab a bab ee ee abABeAB 222 2 2 a ba bb a a b aba b ab eabee ab eeeee ACe ababab 令则所以在上单减 故 2 0 xx m xxeex 20 xx m xee m x 0 取则 8 分 00 m xm 2 ab x 22 0 a bb a abeeAC 12 1 2211 abababa b aba ba b eeeeabeee abeeee 令则在上单增 故 2 1 21 x x n x e 2 22 1 12 0 2 121 x x xx e e n xn x ee 0 取则 00 n xn xab 2 10 21 a b ab BC e 综合上述知 12 分 ACB 6 22 证明 1 连接 因为点为的中点 故 2 ABA BF BAAF ABFACB 分 又因为 是的直径 4 分ADBC BCO 5 分BADACB ABFBAD AEBE 2 由知 8 分ABGACB 2 9 16ABAG AC 12AB 直角中由勾股定理知 9 分 ABC 20BC 圆的半径为 10 10分 23 1 曲线的普通方程是 4 分 1 C 22 1 94 xy 2 曲线的普通方