恒成立、存在性问题(答案版)

1 导数应用导数应用 恒成立问题恒成立问题 练习练习 1 已知函数 lnf xxx I 求函数 f x的单调递减区间 II 若 2 6f xxax 在 0 上恒成立 求实数a的取值范围 III 过点 2 0 Ae 作函数 yf x 图像的切线 求切线方程 解解 ln1fxx 0fx 得ln1x 1 0 x e 函数 f x的单调递减区间是 1 0 e 2 6f xxax 即 6 lnaxx x 设 6 lng xxx x 则 2 22 6 3 2 xxxx g x xx 当 0 2 x 时 0g x 函数 g x单调递减 当 2 x 时 0g x 函数 g x单调递增 g x最小值 2 5ln2g 实数a的取值范围是 5ln2 设切点 00 T xy则 0 AT kfx 00 0 0 2 ln ln1 1 xx x x e 即 2 00 ln10e xx 设 2 ln1h xe xx 当0 x 时 0h x h x是单调递增函数 0h x 最多只有一个根 又 2 222 111 ln10he eee 0 2 1 x e 切线方程为 22 12 1 Tk ee 222 211 0yxxy eee 即 2 1 求函数在点处处的切线方程 lnyx 1 0 2 若不等式对恒成立 求实数的取值范围 ln1xax 0 x a 3 已知 若存在 使得xxxga x xxfln1 1 2 1 1 1 21 aa a 求实数的取值范围 3 21 gfa 解 解 1 01 yx 2 法一 原问题等价于对恒成立 即a x x 1ln 0 x max ln1 x a x 令 由得 0 1ln x x x xg 2 ln 0 x g x x 1 x 1 0 1 01xfxxfxx 时时是极大值点 所以 即 max 1 1 g xg 1 a 1 a 2 法二 原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方 临界情xyln 1 axy 况是与相切 xyln 1 axy 设函数的切点为 则 所以 又切点在xyln ln 00 xxa x 0 1 a x 1 0 所以 所以 则 1 axy01 1 1ln 00 a aaxx1 0 x1 a 所以 对恒成立时 ln1xax 0 x 1 a 3 原问题等价于 存在 使得 则只需 1 21 a a 3 3 21 gf 即 3 3 max min xgxf xgxf minmax maxmin 3 3 f xg x f xg x 由得 1 1 2 1 a a xa x xxf min 1 1 f xfa 则 131 22 a ff a aa 因为 max 31 22 a f x a 由得 1 0 x g x x 1 x1 0 1 0 xfxxfx 时时 所以 1x 是极小值点 min 1 0g xg ln1 ln1 1 1 aaaga aa g 因为 2 1112 ln 2ln aaa gg aaa aaa 2 12 ln 1 22ln22 1 ln 0 1 0h aaaa ah aaaaah 设 max 11 1 0 0 1 ln h ahgg ag agg xg aaa aa 所以得 即 30 2 1 2 3 3 ln1 1 1 a a aaa a 1 a ae ea 1 即的范围是 a 1 e 注意 用了第 2 问结论 22ln22 1 ln 0h aaaaa 3 已知函数是定义在上的奇函数 当时 f x 00 ee 0 xe 其中e是自然界对数的底 lnf xaxx aR 1 求的解析式 f x 3 2 设 求证 当时 且 恒成立 ln 0 x g xxe x 1a 0 ex 1 2 f xg x 3 是否存在实数a 使得当时 的最小值是3 0 xe f x 如果存在 求出实数a的值 如果不存在 请说明理由 解 解 1 设 则 所以又因为是定义在 0 xe 0 xe ln fxaxx f x 上的奇函数 所以 0 0 ee ln f xfxaxx 故函数的解析式为 f x ln 0 ln 0 axx xe f x axx xe 2 证明 当且时 设 0 xe 1a ln ln x f xxx g x x 因为 所以当时 ln 1 2 x h x x 11 1 x fx xx 1ex 此时单调递减 当时 此时单调 0fx f x10 x 0fx f x 递增 所以 又因为 所以当 min 1 10f xf 2 ln 1 x h x x 时 此时单调递减 所以0ex 0h x h x maxmin 1111 1 222 h xhef x e 所以当时 即 0 xe f xh x 1 2 f xg x 3 解 假设存在实数 使得当时 有最小值是3 a 0 xe ln f xaxx 则 11 ax fxa xx 当 时 在区间上单调递增 0a 0 xe 1 0fx x f x 0 e 来源 学 f x 5 2 当时 若对任意的 恒有 求的取值范围 0p 0 x 0f x p 解 解 1 的定义域为 ln1f xxpx f x 0 当时 在 上无极值点 11 px fxp xx 0p 0fx f x 0 当 令 随的变化情况如下表 0p 时 1 0 0 fxxfx p f xx 从上表可以 看出 当p 0时 f x 有唯一极大值点 1 x p 2 由 1 可知 当p 0时 f x 在处取极大值 此极大值也是最大 1 x p 11 lnf pp 值 要使f x 0恒成立 只需0 解得p 故p的取值范围为 11 lnf pp 1 1 6 已知函数 xxaxxfln 1 当时 函数的图像在点处的切线方程 1 a xf 1 1 fP 2 当时 解不等式 0 a0 xf 3 当时 对 直线的图像下方 求整数 1 a 1x 1 xfyxky 恒在函数k 的最大值 解 解 1 当时 切线 12 1 21 xyxy 2 0 0ln0 a exxaxf 3 当时 直线的图像下方 得 1x 1 xfyxky 恒在函数 问题等价于对任意恒成立 1 x xf k1 x 当时 令 令 x 1 0 p 1 p 1 p fx 0 f x 递增极大值递减 6 故在上是增函数 由于 03ln1 3 h04ln2 4 h 所以存在 使得 0ln2 000 xxxh 则 0 1 0 xhxx时 0 0 xhxx 时 即 0 1 0 xgxx时 0 0 xgxx 时 知在递减 递增 1 0 x 0 x 又 所以 3 7 已知函数 32 3 1 2 axxxR 其中a 0 xf 若a 1 求曲线在点处的切线方程 xfy 2 2 f 若在区间 1 1 2 2 上 恒成立 求a的取值范围 0 xf 解 解 当a 1时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所以曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 3 6 x 2 即y 6x 9 f x 2 333 1 axxx ax 令f x 0 解得x 0或x 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x 极大值 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此2 a 5 综合 1 和 2 可知a的取值范围为0 a 即 当时 当时 10 已知函数 若曲线y f x 在点P 1 f 1 处的切线与直线y x 2垂直 求函数y f x 的单调 区间 若对于任意成立 试求a的取值范围 记g x f x x b b R 当a 1时 函数g x 在区间上有两个零点 求实数b的取值范围 解 解 直线y x 2的斜率为1 函数f x 的定义域为 因为 所以 所以a 1 所以 由解得x 2 由解得0 x1 由解得0 x 1 所以函数g x 在区间上有两个零点 所以 解得 所以b得取值范围是 xf的单调递减区间为 12 a a 0 单调递增区间为 0 12 a a 11 已知函数 a R e为自然对数的底数 2 1 2lnf xa xx 当a 1时 求的单调区间 f x 若函数在上无零点 求a的最小值 f x 1 0 2 解 解 I 当 2 1 12ln 1 af xxxfx x 时则 由由 0 2 fxx 得 0 02 fxx 得 故 0 2 2 f x 的单调减区间为单调增区间为 II 因为上恒成立不可能 1 0 0 2 f x 在区间 故要使函数上无零点 只要对任意的恒成立 1 0 2 f x 在 1 0 0 2 xf x 11 即对恒成立 12ln 0 2 21 x xa x 令 2ln1 2 0 12 x l xx x 则 22 22 1 2ln2ln2 1 1 xxx xx l x xx 22 21 2ln2 0 2 222 1 0 m xxx x x m x xxx 再令 则 11 0 22ln20 22 1 0 0 2 m xm xm l xl x 故在上为减函数于是 从而 于是在上为增函数 1 24ln2 2 2ln 2 24ln2 1 l xl x aa x 所以 故要使恒成立只要 综上 若函数 1 0 2 f x 在上无零点24ln2 a 则的最小值为 12 已知函数f x ln x e a a为常数 是实数集R上的奇函数 函数g x f x sinx是区间 1 1 上的减函数 1 求a的值 2 求关于x的方程 ln x f x 22 1 2xexe e 的根的个数 3 若g x 2 t t 1在x 1 1 上恒成立 求t的取值范围 解 解 1 ln aexf x 是奇函数 则 ln ln aeae xx 恒成立 1 aeae xx 即 0 0 11 2 aaeeaaaeae xxxx 2 由 1 知 22 ln1 2 x f xxxexe xe 方程为 令 22 12 ln1 2 x f xfxxexe xe 12 Q 1 2 1ln x f x x 当 0 0 0 11 exfxfex在时 上为增函数 11 0 xef xf xe 时在上为减函数 当ex 时 1 1max1 e efxf 而 2 2 1 fxxe e 2min2 1 fxfe e 22 ln1 2 x xexe f xe 方程只有一个根 3 又Q g x在 1 1 上单调递减 1sin 1 max gxg 且 cos0g xx 对x 1 1 恒成立 1 11sin 2 tt 只需 1 011sin 1 2 恒成立其中 tt 令 1 11sin 1 2 tth则 011sin1 01 2 tt t 2 2 1 sin10 sin10 t tt tt 而恒成立 1 t 13 已知函数 x x f xm mR e 1 当时 求的单调区间 最大值 0m f x 2 设函数 若存在实数使得 求m的取值范围 ln g xxf x 0 x 0 0g x 解 解 1 当时 0m 1 xxxx fxxeexex e 当时 函数在区间上是增函数 1x 0fx f x 1 当时 函数在区间上是减函数 1x 0fx f x 1 所以的最大值为 f x 1 1 f e 故函数的单调递增区间为 单调递减区间为 最大值为 f x 1 1 1 e 2 由已知 当时 0 x 01x ln g xxf x 函数在区间上是减函数 1 1 0 x g xxe x g x 0 1 当时 函数在区间1x ln g xxf x 1 1 0 x g xxe x g x 13 上是增函数 所以的最小值为 1 g x 1 1 gm e 若存在实数 使得 则 解得 所以m的取值范 0 x 0 0 g x 1 0m e 1 m e 围为 1 e 14 设函数 曲线在点处切线斜率为 2 1 ln 1 2 a f xaxxbx a yf x 1 1 f0 1 求 b 2 若存在 使得 求的取值范围 0 1x 0 1 a f x a a 1 2 1b 21 21 1 15 设函数 其中 的图像在处的切线与直 322 21f xxmxm xm 2m 2x 线垂直 5120 xy 1 求函数的极值与零点 f x 2 设 若对任意 存在 使成 1 ln x g xx kx 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x 立 求实数的取值范围 k 解 解 1 因为 所以 22 34fxxmxm 2 2 1285fmm 解得 或 又 所以 1m 7m 2m 1m 由 解得 2 3410fxxx 1 1x 2 1 3 x 所以 150 327 f xf 极小值 1 2f xf 极大值 因为 322 22 2 1 f xxxxxx 所以函数的零点是 f x2x 2 由 1 知 当时 0 1 x min 50 27 f x 对任意 存在 使 等价于 在 1 0 1 x 2 0 1 x 12 f xg x f x 0 1 上的最小值大于在上的最小值 即当时 g x 0 1 0 1 x min 50 27 g x 14 22 1 11 x k g x kxxx 当时 因为 所以 符合题意 0k 0 1 x 150 ln0 27 x g xx kx 当时 所以时 单调递减 01k 1 1 k 0 1 x 0g x g x 所以 符合题意 min 50 1 0 27 g xg 当时 所以时 单调递减 1k 1 01 k 1 0 x k 0g x g x 时 单调递增 1 1 x k 0g x g x 所以时 0 1 x min 111 1lng xg kkk 令 则 所以在 23 ln 27 xxx 01x 1 10 x x x 0 1 上单调递增 所以时 即 0 1 x 50 1 0 27 x 23 ln 27 xx 所以 符合题意 min 1112350 1ln1 2727 g xg kkk 综上所述 若对任意 存在 使成立 则实数的 1 0 1 x 2