2021版新高考数学：相等关系与不等关系含答案.doc

教学资料范本2021版新高考数学：相等关系与不等关系含答案编 辑：_时 间：_第四节相等关系与不等关系考点要求1.了解现实世界及日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(对应学生用书第8页)1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2等式的性质(1)对称性：若ab、则ba.(2)传递性：若ab、bc、则ac.(3)可加性：若ab、则acbc.(4)可乘性：若ab、则acbc；若ab、cd、则acbd.3不等式的性质(1)对称性：abbb、bcac；(3)可加性：abacbc；ab、cdacbd；(4)可乘性：ab、c0acbc；ab、c0acb0、cd0acbd；(5)乘方法则：ab0anbn(n2、nN)；(6)开方法则：ab0(n2、nN)；(7)倒数性质：设ab0、则a.4基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0、b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a、b的算术平均数、称为正数a、b的几何平均数5两个重要的不等式(1)a2b22ab(a、bR)、当且仅当ab时取等号(2)ab(a、bR)、当且仅当ab时取等号6利用基本不等式求最值已知x0、y0、则(1)如果积xy是定值p、那么当且仅当xy时、xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s、那么当且仅当xy时、xy有最大值是(简记：和定积最大).1若ab0、m0、则；若ba0、m0、则.2.2(a、b同号)、当且仅当ab时取等号3ab.4.(a0、b0).一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)abac2bc2.()(3)函数f(x)sin x、x(0、)的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设A(x3)2、B(x2)(x4)、则A与B的大小关系为()AABBABCAB DABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810、AB、故选B.2若x0、则x()A有最小值、且最小值为2B有最大值、且最大值为2C有最小值、且最小值为2D有最大值、且最大值为2D因为x0、x22、当且仅当x1时、等号成立、所以x2.3函数f(x)x(x2)的最小值为_4当x2时、x20、f(x)(x2)2224、当且仅当x2(x2)、即x3时取等号4若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地、则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m、矩形场地的面积为y、则另一边为(202x)(10x)m、则yx(10x)25、当且仅当x10x、即x5时、ymax25.(对应学生用书第9页)考点1比较大小与不等式的性质比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).(2)作商法：直接作商与1的大小比较、注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值、根据函数的单调性比较(4)不等式的性质法(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值、根据特殊值比较大小、从而得出结论1.若a、b、cR、且ab、则下列不等式一定成立的是()AacbcB(ab)c20Cacbc DB(不等式的性质法)a、b、cR、且ab、可得ab0、因为c20、所以(ab)c20.故选B.2若a0、b0、则p与qab的大小关系为()Apq DpqB法一： (作差法)pqab(b2a2)、因为a0、b0、所以ab0.若ab、则pq0、故pq；若ab、则pq0、故pq.综上、pq.故选B.法二： (特殊值排除法)令ab1、则pq2、排除选项A、C; 令a1、b2、则pq、排除选项D.故选B.3(20xx全国卷)若ab、则()Aln (ab)0 B3a3bCa3b30 D|a|b|C法一：由函数yln x的图象(图略)知、当0ab1时、ln (ab)b时、3a3b、故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增、所以当ab时、a3b3、即a3b30、故C正确；当ba0时、|a|1)的最小值为_(3)一题两空已知x、则y4x的最小值为_、此时x_(1)C(2)22(3)7(1)a0、b0、4a3b6、a(a3b)3a(a3b)3、当且仅当3aa3b、即a1、b时、a(a3b)的最大值是3.(2)x1、x10、y(x1)222.当且仅当x1、即x1时、等号成立(3)x、4x50.y4x4x55257.当且仅当4x5、即x时上式“”成立即x时、ymin7.母题探究一题两空把本例(3)中的条件“x”、改为“x”、则y4x的最大值为_、此时x_31因为x0、则y4x525253.当且仅当54x、即x1时、等号成立故y4x的最大值为3.此时x1.(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件、常见的错误解法为：a(a3b)、当且仅当aa3b、且4a3b6、即a、b0时、a(a3b)的最大值为、从而错选B.(2)应用拆项、添项法求最值时、应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”、如T(1)、T(2).常数代换法求最值常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除、进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值已知a0、b0、ab1、则的最小值为_4因为ab1、所以(ab)222224.当且仅当ab时、等号成立母题探究1若本例条件不变、求(1)(1)的最小值解(1)(1)(1)(1)52549.当且仅当ab时、等号成立2若将本例条件改为a2b3、如何求解的最小值解因为a2b3、所以ab1.所以121.当且仅当ab时、等号成立常数代换法主要解决形如“已知xyt(t为常数)、求的最值”的问题、先将转化为、再用基本不等式求最值教师备选例题设ab2、b0、则取最小值时、a的值为_2ab2、b0、21、当且仅当时等号成立又ab2、b0、当b2a、a2时、取得最小值(20xx市区模拟)已知a1、b0、ab2、则的最小值为()ABC32 DA已知a1、b0、ab2、可得(a1)b1、又a10、则(a1)b12.当且仅当、ab2时取等号则的最小值为.故选A.消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题、若直接运用基本不等式无法求最值时、可尝试减少变量的个数、即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系、然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题、即减元(三元化二元、二元化一元).(20xx嘉兴期末)已知a0、b0、且2abab1、则a2b的最小值为()A52 B8C5 D9Aa0、b0、且2abab1、a0、b2、a2b2b2(b2)55252.当且仅当2(b2)、即b2时取等号a2b的最小值为52.故选A.求解本题的关键是将等式“2abab1”变形为“a、然后借助配凑法求最值(20xx新余模拟)已知正实数a、b、c满足a22ab9b2c0、则当取得最大值时、的最大值为()A3 BC1 D0C由正实数a、b、c满足a22ab9b2c、得、当且仅当、即a3b时、取最大值.又因为a22ab9b2c0、所以此时c12b2、所以1、故最大值为1.利用两次基本不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时、常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时、一定要注意每次是否能保证等号成立、并且注意取等号的条件的一致性已知ab0、那么a2的最小值为_4由题意ab0、则ab0、所以b(ab)、所以a2a224、当且仅当bab且a2、即a、b时取等号、所以a2的最小值为4.由于b(ab)为定值、故可求出b(ab)的最大值、然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值若a、bR、ab0、则的最小值为_4因为ab0、所以4ab24、当且仅当时取等号、故的最小值是4.考点3利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后、只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时、一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解经测算、某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时、可使得每小时耗油量最少？(2)已知A、B两地相距120 km、假定该型号汽车匀速从A地驶向B地、则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50、80)时、y(x2130x4 900)(x65)2675、所以当x65时、y取得最小值、最小值为6759.当x80、120时、函数y12单调递减、故当x120时、y取得最小值、最小值为1210.因为910、所以当x65、即该型号汽车的速度为65 km/h时、可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为l L、由题意可知ly、当x50、80)时、ly16、当且仅当x、即x70时、l取得最小值、最小值为16.当x80、120时、ly2为减函数、所以当x120时、l取得最小值、最小值为10.因为1016、所以当速度为120 km/h时、总耗油量最少当运用基本不等式求最值时、若等号成立的自变量不在定义域内时、就不能使用基本不等式求解、此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解(20xx上海模拟)经济订货批量模型、是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式、即某种物资在单位时间的需求量为某常数、经过某段时间后、存储量消耗下降到零、此时开始订货并随即到货、然后开始下一个存储周期、该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题、具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)、其中A为年需求量、B为每单位物资的年存储费、C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料、年需求量为6 000吨、每吨存储费为120元/年、每次订货费为2 500元(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇、求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇、可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？解(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系