通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练三立体几何理.docx

教学资料范本通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练三立体几何理编 辑：_时 间：_大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,在三棱锥A-BCD中,ABC是等边三角形,BAD=BCD=90,点P是AC的中点,连接BP,DP.(1)证明:平面ACD平面BDP;(2)若BD=,且二面角A-BD-C为120,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.(1)证明因为ABC是等边三角形,BAD=BCD=90,所以RtABDRtCBD,可得AD=CD.因为点P是AC的中点,则PDAC,PBAC,因为PDPB=P,PD平面PBD,PB平面PBD,所以AC平面PBD.因为AC平面ACD,所以平面ACD平面BDP.(2)解方法一:如图,作CEBD,垂足为E,连接AE.因为RtABDRtCBD,所以AEBD,AE=CE,AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120,知AEC=120.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,因为ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=AE.在RtABD中,有AEBD=ABAD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=,ED=.由CEBD,AEBD可知BD平面AEC,则平面AEC平面BCD.过点A作AOCE,交CE的延长线于O,则AO平面BCD.连接OD,则ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在RtAEO中,AEO=60,所以AO=AE=1,sinADO=.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.方法二:如图,作CEBD,垂足为E,连接AE.因为RtABDRtCBD,所以AEBD,AE=CE,AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120,知AEC=120.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,因为ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=AE.在RtABD中,有AEBD=ABAD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=,ED=.以E为坐标原点,以向量的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,则D0,0,A-,0,1,向量=,-1,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),设直线AD与平面BCD所成的角为,则cos=-,sin=|cos|=.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.2.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,A1C=BC.(1)求证:A1B平面AB1C;(2)若ABB1=60,CBA=CBB1,ACB1C,求二面角B-AC-A1的余弦值.(1)证明因为侧面ABB1A1为菱形,所以A1BAB1,记A1BAB1=O,连接CO,因为A1C=BC,BO=A1O,所以A1BCO,又AB1CO=O,所以A1B平面AB1C.(2)解方法一:因为CBA=CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以CBACBB1,所以AC=B1C.又O是AB1的中点,所以COAB1,又A1BCO,A1BAB1=O,所以CO平面ABB1A1.令BB1=2,因为ACB1C,O为AB1的中点,所以CO=1.如图,以O为坐标原点,OB所在的直线为x轴,OB1所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.O(0,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,0,1),A1(-,0,0),=(,1,0),=(0,1,1),=(-,1,0),=(,0,1).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则令x=1,则n1=(1,-),同理可得平面A1AC的一个法向量为n2=(1,-).cos=-,由图知二面角B-AC-A1为钝角,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-.方法二:因为CBA=CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以CBACBB1,所以AC=B1C.设AB=2,因为ABB1=60,侧面ABB1A1为菱形,所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=.又ACB1C,所以CO=1,AC=B1C=,又A1C=BC,O为A1B的中点,所以BC=A1C=2,所以ABC为等腰三角形,A1AC为等腰三角形.如图,取AC的中点M,连接BM,A1M,则BMA1为二面角B-AC-A1的平面角.在BMA1中,可得BM=A1M=,A1B=2,所以cosBMA1=-,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-.3.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC平面BCGF,CB=2GF,BF=CF.(1)求证:ABCG;(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.(1)证明取BC的中点为D,连接DF,如图.由题意得,平面ABC平面EFG,平面ABC平面BCGF=BC,平面EFG平面BCGF=FG,从而BCFG.CB=2GF,CDGF,四边形CDFG为平行四边形,CGDF.BF=CF,D为BC的中点,DFBC,CGBC.平面ABC平面BCGF,且平面ABC平面BCGF=BC,CG平面BCGF,CG平面ABC,又AB平面ABC,CGAB.(2)解连接AD.由ABC是正三角形,且D为BC的中点得,ADBC.由(1)知,CG平面ABC,CGDF,DFAD,DFBC,DB,DF,DA两两垂直.以D为坐标原点,DB,DF,DA所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.设BC=2,则A(0,0,),B(1,0,0),F(0,0),G(-1,0),=(-2,0).CB=2GF,=2,E,.设平面BEG的法向量为n=(x,y,z),由可得令x=,则y=2,z=-1,n=(,2,-1)为平面BEG的一个法向量.设AE与平面BEG所成的角为,则sin=|cos|=.直线AE与平面BEG所成角的正弦值为.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,PCD为正三角形,BAD=30,AD=4,AB=2,平面PCD平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:BEPC;(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.(1)证明如图,连接BD,DE,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=4,BD=2,AB2+BD2=AD2,ABBD,BDCD.平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,BD平面PCD,BDPC.PCD为正三角形,E为PC的中点,DEPC,PC平面BDE,BEPC.(2)解方法一:作PGCD且PG=CD,则PGAB,PG为平面PAB与平面PCD的交线,连接GD,GB,设F为CD的中点,连接PF,则PG=DF,故四边形DFPG为平行四边形,所以DGPG,由(1)可知BDCD,BDPG,PG平面BDG,BGPG,BGD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角.DG=PF=3,BD=2,BG=,cosBGD=.即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为.方法二:如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,-2,0),B(2,0,0),P(0,3),=(2,-3,-3),=(2,-,-3),可知平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x0,y0,z0),则即n=(3,0,2).设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为,cos=.即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为.5.如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,CD=2AB=2EF=4,M为DF的中点.现将四边形BEFC沿EF折起,使平面BEFC平面AEFD,得到如图所示的多面体.在图中:(1)证明:EFMC;(2)求二面角M-AB-D的余弦值.(1)证明由题意,可知在等腰梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,EFCD.折叠后,EFDF,EFCF.DFCF=F,EF平面DCF.又MC平面DCF,EFMC.(2)解平面BEFC平面AEFD,平面BEFC平面AEFD=EF,且DFEF,DF平面BEFC,DFCF,DF,CF,EF两两垂直.以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由题意知DM=FM=1.M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2).=(0,0,2),=(-1,1,0),=(-1,0,2).设平面MAB、平面ABD的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2).由取x1=1,则m=(1,1,0)为平面MAB的一个法向量.由取x2=2,则n=(2,2,1)为平面ABD的一个法向量.cos=,二面角M-AB-D的余弦值为.6.如图,四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,CC1底面ABCD,且BAD=60,CD=CC1=2C1D1=4,E是棱BB1的中点.(1)求证:AA1BD;(2)求二面角E-A1C1-C的余弦值.证明(1)因为CC1底面ABCD,所以CC1BD.因为底面ABCD是菱形,所以BDAC.由四棱台ABCD-A1B1C1D1知,A1,A,C,C1四点共面.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.所以BDAA1.(2)如图,设AC与BD交于点O,连接OA1,依题意得,A1C1OC且A1C1=OC,所以四边形A1OCC1是平行四边形,所以A1OCC1,且A1O=CC1.所以A1O底面ABCD.以O为坐标原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(0,0,4),C1(-2,0,4),B(0,2,0),由得,B1(-,1,4).因为E是棱BB1的中点,所以E-,2.所以=,-,2,=(-2,0,0).设平面EA1C1的法向量为n1=(x,y,z),则取z=3,则n1=(0,4,3)为平面EA1C1的一个法向量.又n2=(0,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量,所以cos=,由图可知,二面角E-A1C1-C为锐二面角,所以二面角E-A1C1-C的余弦值为.B组能力提升7.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABCD,BAD=90,CD=2AB=2,PA平面ABCD,PA=AD=,M为PC的中点.(1)求证:平面PBC平面BMD;(2)求二面角M-BD-P的余弦值.(1)证明在直角梯形ABCD中,BD=,cosBDC=cosDBA=,在BCD中,由余弦定理得,BC=.因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD,所以PB=,PD=2,所以PCD,PCB是等腰三角形,又M为PC的中点,所以PCMD,PCMB,又MDMB=M,所以PC平面MDB,又PC平面PBC,所以平面PBC平面BDM.(2)解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,A(0,0,0),P(0,0,),B(1,0,0),C(2,0),D(0,0),所以=(1,0,-),=(2,-),=(0,-).设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),由取x=,则可得平面PBD的一个法向量n=(,1,1).由(1)可得平面BDM的一个法向量为=(2,-).cos=,所以二面角M-BD-P的余弦值为.8.如图,等腰直角三角形ABC中,B=90,平面ABEF平面ABC,2AF=AB=BE,FAB=60,AFBE.(1)求证:BCBF;(2)求二面角F-CE-B的正弦值.(1)证明等腰直角三角形ABC中,B=90,即BCAB,又平面ABC平面ABEF,平面ABC平面ABEF=AB,BC平面ABC,BC平面ABEF,又BF平面ABEF,BCBF.(2)解由(1)知BC平面ABEF,故建立如图所