【优化课堂】高中数学 第三章 3.1.3 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修21.ppt

3 1 3空间向量运算的坐标表示 1 了解空间向量基本定理 意义及其表示 2 理解空间向量的正交分解 长度公式 夹角公式和空间 两点间距离公式 3 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量 能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题 1 设i j k是空间三个两两垂直的向量 那么对空间任一向量p 存在一个 使得 我们称 为向量p在i j k上的分向量 2 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 有序实数组 x y z p xi yj zk xi yj zk xa yb zc 3 如果三个向量a b c不共面 那么所有空间向量所组成的集合就是 p p xa yb zc x y z r 这个集合可看作是由a b c生成的 我们把 叫做空间的一个基底 都叫做基向量 空间任何 都可构成空间的一个基底 4 设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两相互垂直的单 位向量 称它们为 a b c a b c 三个不共面的向量 单位正交基底 5 在空间选定一个单位正交基底 e1 e2 e3 以e1 e2 e3的公共起点o为 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的 建立空间直角坐标系oxyz 那么对于空间任意一个向量p 一定可以把它平行移动 使它的起点 得到一个向量 由空间向量分解定理可知 存在有序实数组 x y z 使得 我们把 称作向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作 原点 正方向 与原点o重合 p xe1 ye2 ze3 x y z p x y z 6 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的 7 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a a b a b a b 终点与始点的坐标之差 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a1b1 a2b2 a3b3 0 题型1空间向量的坐标运算 例1 已知a 2 1 2 b 0 1 4 求a b a b a b 2a b a b a b 自主解答 a b 2 0 1 1 2 4 2 2 2 a b 2 0 1 1 2 4 2 0 6 a b 2 0 1 1 2 4 7 2a b 2 a b 2 7 14 a b a b 2 2 2 0 2 6 8 思维突破 计算时注意运算法则和公式的灵活应用 变式与拓展 1 已知向量a 3 2 1 b 2 4 0 则4a 2b a 16 0 4 c 8 16 4 b 8 16 4 d 8 0 4 解析 4a 2b 4 3 2 1 2 2 4 0 12 8 4 4 8 0 8 0 4 故选d d 并求mn dc的坐标 题型2坐标表示空间向量 例2 已知pa垂直于边长为1的正方形abcd所在的平面 m n分别是ab pc的中点 并且pa ad 建立直角坐标系 思维突破 空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互 相垂直的直线 变式与拓展 2 设 i j k 是空间向量的一个单位正交基底 a 3i 2j k b 2i 4j 2k 则向量a b的坐标分别是 3 2 1 2 4 2 2 求cos ba1 cb1 的值 题型3空间向量的夹角 距离公式的应用 例3 已知如图3 1 10 在直三棱柱abc a1b1c1的底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 点n是a1a的中点 1 求bn的长 图3 1 10 变式与拓展 3 已知a 1