13年高考真题数学理(辽宁卷).doc

2013年高考真题理科数学（解析版） 辽宁卷2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的模为( ) （A） （B） （C） （D）22已知集合，则 ( )（A） （B） （C） （D）3已知点，则与向量同方向的单位向量为( )（A） （B） （C） （D）4下面是关于公差的等差数列的四个命题:：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列。其中的真命题为（ ） （A） （B） （C） （D）5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为。若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( ) （A）45 （B）50 （C）55 （D）606在中，内角所对的边长分别为，且，则( ) （A） （B） （C） （D）7使的展开式中含有常数项的最小的为 ( ) （A）4 （B）5 （C）6 （D）78执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的( ) （A） （B） （C） （D）9已知点，若为直角三角形，则必有( )（A） （B）（C） （D）10已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为( )（A） （B） （C） （D）11已知函数，设，表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为，得最小值为,则( ) （A） （B） （C） （D）1612函数满足，则时( ) （A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 。14已知等比数列是递增数列，是的前项和。若，是方程的两个根，则 。15已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率 。16为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据。已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 。三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）设向量，。若，求的值；设函数，求的最大值。18（本小题满分12分）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。求证：平面平面；若，求二面角的余弦值。19（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。求张同学至少取到1道乙类题的概率；已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立。用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望。20（本小题满分12分）如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）。当时，切线的斜率为。求的值；当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）21（本小题满分12分）已知，当时，求证： ；若恒成立，求实数的范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）如图，为的直径，直线与相切于，于，于，于，连接。证明：；。23（本小题满分10分）在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系。圆，直线的极坐标方程分别为。求与交点的极坐标；设为的圆心，为与交点连线中点。已知直线的参数方程为（为参数），求的值。24（本小题满分10分）已知函数，其中。当时，求不等式的解集；已知关于的不等式的解集为，求的值。2013年普通高校招生全国统考数学试卷（辽宁卷）解答一BDADB ABACC BD二13；1463；15；1610。17解：由题，而，故，又，故，；因，故当时，取得最大值1，所以的最大值为。18解：因是圆的直径，故。由面，面，得。又，平面，面，故面。因面，故平面平面；过作，则平面。如图建立空间直角坐标系，因，故。又，故，故，。设是平面的法向量，则，得，取得。设是平面的法向量，则，得，取得。故，从而所求余弦值为。19解：设“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”为事件，则即为“张同学所取的3道题都是甲类题”，因，故；0123所有可能取值为， ，故的分布列如右，。20解：因抛物线上任一点的切线斜率为，且切线的斜率为，故，从而：。因点在切线上，故。又点在抛物线上，故，得；设，则，。切线：，：，可得的坐标为，。因点在上，故，得。因为，因此。当时，与重合于原点，则满足。综上知点的轨迹方程为。21解：要证时，只需证明。记，则。因，故，因此在单调递增，有。所以。要证时，只需证明。记，则。因，故，因此在单调递增，有。所以。综上可知；由得，设，则，。当时，故在单调递减，因此，从而在单调递减，有，得，所以当时在上恒成立。下面证明当时在上不恒成立。由可得，记，则，当时，故在单调递减，于是在的值域为。因时，故存在，使得。此时，即在上不恒成立。综上知的取值范围是。22解：因直线与相切，故。因为的直径，故，从而。又，故，因此，从而；因，故，得。类似可得，得。又在中，所以，从而。23解：圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，由解得或，故