结构刚度计算.doc

建筑力学行动导向教学案例教案提纲课程名称 建筑力学课程性质必修课（）、选修课（ ）项目名称模块六：静定结构的位移计算及刚度校核授课方式理论课（ ）、实验课（ ）、实训课（ ）教学时数12课时授课时间教学目的能用图乘法解静定结构的位移及静定结构由于支座移动和温度变化引起位移计算。教学内容（1）拉压杆、扭转轴、简单梁的及刚度校核； （2）叠加法求梁的挠度；（3）理解虚功原理,以及用单位荷载法求静定结构的位移； （4）掌握图乘法； （5）了解支座沉陷和温度变化引起的位移计算方法； （6）了解功的互等定理与位移互等定理反力互等定理。教学重点1.简单梁梁的位移及刚度校核；2.图乘法；教学难点1.理解虚功原理,以及用单位荷载法求静定结构的位移；2.了解功的互等定理与位移互等定理反力互等定理。消耗材料A4纸张3张操作工具直尺、铅笔、橡皮；计算器成果要求进行梁或桁架的刚度校核（学生任选其一）教学过程一、信息获取（教师主讲）1.掌握单位荷载法2.掌握图乘法； 二、制定计划（分组讨论）1. 结构选型，确定本组所采用的结构形式2.进行内力计算；3.求解结构位移4.刚度校核三、做出决定（教师主持全班讨论）1. 分组介绍结构方案2. 提问、讨论、教师点评：介绍结构力学原理，结构内力计算；结构位移计算（单位荷载法、图乘法）；刚度校核。四、实施操作（分组计算）1. 根据讨论结果修改方案2.计算内力（可采用上节计算结果）3. 求解位移；4.刚度校核五、检验校正（教师主持分组发言）1. 列举知识和能力缺陷、列出理论与实际差别。2. 写出改进措施。3. 写出小组协作体会与个人心得。六、总结评价1.小组自评（本组学生自我模糊评定）2. 结构功能评定（全班学生讨论后议定）3. 小组间互评并写出对方优缺点（全班学生讨论后议定）4. 任务完成等级评定（教师依据一定标准进行评定）5. 团队协作水平评定（教师、组长评定）模块六：静定结构的位移计算及刚度校核 6.1.1 杆系结构的位移 杆系结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横载面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。 图6-1 刚架的绝对位移 图6-2刚架的相对位移我们将以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移。除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移，如图11.3(a) 和图11.3(b)所示。图6-3其他因素引起的位移6.1.2 计算位移的目的 在工程设计和施工过程中，结构的位移计算是很重要的，概括地说，计算位移的目的有以下三个方面：1、 验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。2、 为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3、 在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。建筑力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的影响下静定结构的位移计算方法。6.2.构件的变形与刚度校核6.2.1轴心拉压变形一、纵向变形1、拉压杆的位移：等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移l。2、计算公式 图6-4轴心受拉变形 EA称为杆的拉压刚度 （4-2）上式只适用于在杆长为l长度N、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况例6.2-1某变截面方形柱受荷情况如图6-5所示，F=40KN上柱高3m边长为240mm,下柱高4m边长为370mm，E=0.03105 Mpa。试求：该柱顶面A的位移。解：1.绘内力图 图6-5二、横向变形1、横向变形 (公式6-1)2.横向变形因数或泊松比 （公式6-2）【例6.2-2】 一矩形截面钢杆，其截面尺寸bh=3mm80mm，材料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度内，杆伸长了0.05mm，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm，试求： 该钢材的泊松比； 杆件所受的轴向拉力FP。解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比求杆的横向线应变求泊松比（2）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律=E 计算图示杆件在FP作用下任一横截面上的正应力=E=510-4200103=100MPa可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力FN=A=100380=24103 =24kN该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即FN=FP，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。MeMegOBAj6.2.2等直圆轴扭转时的变形及刚度条件1、转角计算公式扭转角（j）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 图6-6 （公式6-3）称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。2、刚度校核 （公式6-4）6.2.3梁的位移及刚度校核一、梁的位移1、 梁的位移梁平面弯曲时，每个截面都发生了移动和转动，如图6-7所示。横截面形心在垂直于轴线方向的线位移称为挠度，用w 表示。对于水平方位的梁，规定w 向下为正。实际上梁平面弯曲时横截面形心沿梁的轴线方向还有线位移。工程中梁的变形一般为小变形，曲率很小，弯曲引起的最大轴向位移不足杆长的十万分之一，所以忽略这种轴向位移。横截面的角位移称为转角。在图6-7b所示的坐标系下，以顺时针转向的为正。图6-7 梁的弹性曲线与梁的位移 梁的位移计算方法有挠曲线方程法、叠加法、图乘法，一般采用图乘法。2、挠曲线方程法通常梁的挠度是沿x轴变化的，称为挠度方程：，如图6-7所示。 由于所以 积分得 图6-8挠度w正负号确定（相反）积分常数C、D利用梁的边界条件确定。【例6.2-3】一悬臂梁在自由端受集中力Fp作用。试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。（EI为常数）解：1、弯矩方程为 2、挠曲线近似微分方程为3、一次积分得 （1） 二次积分得 (2) 4、边界条件 x=0 w=0 =0代入（1）（2）式得C=0;D=0 5、转角方程及挠度方程为 6、转角、挠度的最大值均发生在自由端。 3、叠加法 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表6-1所示），可供计算时查用。 表6-1 梁的最大挠度与最大转角公式梁及荷载类型最大转角最大挠度时时-二、梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作。比如桥梁的挠度过大，车辆通过时将发生很大的振动。必须将位移限制在工程允许的范围内。对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比为标准。土木工程的值对于不同类型的梁差别较大，在 之间，铁路钢桁梁为. 梁的刚度条件为: （公式6-5） 应当指出，对于一般土建工程中的构件，强度要求如能满足，刚度条件一般也能满足。因此，在设计工作中，刚度要求比起强度要求来，常处于次要地位。但是，当正常工作条件对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时，刚度条件也可能起控制作用。【例6.2-5】 如6-11图示简支木梁。横截面为圆形。已知FP=3.6kN，l=4m木材的容许应力=10MPa，弹性模量E=10103MPa,容许相对挠度f/l=1/250，试选择木梁的直径。FP2mABC2mzdM图3.6kN/m图6-11解 (1) 画梁的弯矩图。（2）由梁的正应力强度条件设计截面 由得满足正应力强度时梁的抗弯截面系数为： 又圆形截面的抗弯截面系数计算公式为 所以梁满足正应力强度时应有实际结构取(3) 对直径为d=160mm，的梁进行刚度校核由表查得该梁的最大挠度发生在跨中，其值为： 满足刚度要求因此，该木梁的直径取为d=160mm。三、提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度l 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：（1） 增大梁的抗弯刚度EI 梁的变形与梁的抗弯刚度EI成反比，增大梁的抗弯刚度EI将使梁的变形减小，从而提高其刚度。增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，即来用材料尽量远离中性轴的截面形状，比如采用工字形、箱形、圆环形等截面，可显著提高惯性矩。（2） 减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值。增加中间支座 如图 6-12 a所示简支梁跨中的最大挠度为；图6-12b所示在跨中增加一中间支座，则梁的最大挠度约为原梁的，即。 图6-12两端支座内移 如图6-13所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图6-13c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。 图6-13(3) 改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图6-14所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。 图6-146.3结构的位移计算6.3.1 虚功原理和单位荷载法一、 变形体的虚功原理W11=FP111梁弯曲后，再在点2外加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲(图6-15c)。位移12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移12 上作了功，只是此过程中FP1 的大小图6-15 虚功原理未变，功的大小为：W12=FP112力在其他因素引起的位移上作的功称为虚功。虚功是常力作的功，表达式中力与位移乘积之前无“” 。由于是其他因素产生的位移，可能顺着力FP1的指向，也可能与之相逆，因此虚功可以为正，也可以为负。 在小变形条件下，12由图6-15所示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，FP1单独作用的状态图6-15a为虚功计算的力状态。 当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功图6-15a、d 。根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所虚功的总和。二、单位荷载法可以利用变形体的虚功原理求结构的位移。其方法是，将结构所处的平衡状态（实际状态）作为位移状态，另外虚拟结构的一种状态（虚拟状态）为力状态。（图6-16）在虚拟状态上只作用一个单位力，力的作用点、方位与欲求位移K 的位置、方位相同，大小为“1”，即该力为单位荷载 =1 。这样，力状态的外力（包括支座反力）在位移状态的位移（包括支座位移）上所作外力虚功的总和，等于力状态的内力在位移状态微段的相应变形上所作内力虚功的总和。 图6-16单位荷载法 K+RiCi=d+ N+Q式中， =1。则 K=d+ N+QRiCi (公式6-6) 对于实际状态，微段的变形与内力的关系如图6-17所示。ddu=对于剪切内力虚功，用 表示平均切应力，用不均匀系数 体现切应力、切应变在横截面上不均匀分布（例如矩形截面k=1.2），则 + (公式6-7) 式中，按等内力、等截面分段积分求和。设虚拟状态，用式（6-7）计算结构指定位移的方法称为单位荷载法。 6.3.2静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式 在结构的位移公式（6-7）中，等号右边前面三项是由荷载引起的位移，第四项是由支座移动引起的刚体位移。如果结构只有荷载作用，位移公式则为： (公式6-8)1、 各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的。上述计算结果表明，曲杆半径与载面高度之比r/h=10时，弯曲变形引起的位移占总位移的99.5%；如果曲杆半径与截面高度之比r/h=5 时，弯曲变形引起的位移占总位移的98.0%。因此，梁和刚架的位移计算公式只选式（6-8）中的第一项便具有足够的工程精度。 (6-10)（2）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取式（11.3）中的第二项并简化后得位移公式为: (6-11)式中为杆长。 （3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用式（6-8）中的前两项得位移公式为: (6-12)（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计,得位移公式为: (6-13)二 、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态（图6-19）。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力（图6-19b ）。2）、欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶（6-19c）。3）、欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力（图6-19d）。4）、欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶（图6-19e）5）、欲求桁架某杆的角位移（图6-19f），在杆的两端加一对平行、反向的单位集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d ，每一力的大小为1/d（图16-19g）图 6-19 设虚拟状态力和力偶统称为广义力。单位广义力用=1表示；线位移和角位移统称广义位移，用表示。单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同；负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反。三、 静定桁架的位移计算计算步骤为：1、设虚拟状态；2、计算桁架各杆的,FNP ; 3、用式（6-11）计算位移。【例6.3-1】 图6-20 所示桁架各杆的EA相等，求C 结点的竖向位移vc。 图6-20解 （1）设虚拟状态（如图6-20b所示）（2）计算N 和FNP（标于图6-20 b.a ）（3）代公式求 点的竖向位移6.4图乘法6.4.1图乘法原理如果用式(6-10)计算梁和刚架的位移,须先列弯矩方程MP(x)和(x)，再代公式进行积分运算。当杆件数目较多，或荷载较为复杂时，积分计算位移相当麻烦。需要用一种简便实用的方法替代积分运算。图乘法应运而生。一、图乘法的适用条件:（1） 杆段的轴线为直线。（2） 杆段的弯曲刚度EI为常数。直梁和刚架的位移公式则为 (a)积分号内的MPdx，与图1116中X处MP图的微面积A的数值相等。(3) MP图和图中至少有一个直线图形。图6-22中，图的图形为直线，MP图的图线为曲线。在图上X处的纵坐标线 图6-22二图乘法原理对式（）中的积分作变换Mp (b) 式（）中最后的积分为图对轴的静矩，它等于段图的面积乘以图形形心的坐标。则 这样，在图示坐标下，应用等量替换，便将式（）中的积分变换为图形的面积乘以形心的坐标。图乘法求位移的一般表达式为： （公式6-14）6.4.2图乘法的应用一、图乘法的步骤：1、设虚拟状态；2、画图、图；3、图乘求位移1） 分区段：按EI为常量、MP图线图线有直线形分段；2） 拟取A、yc：直线形图提供纵标yc，另一图形提供面积A；3） 图形分解：当图形的面积或形心位置不易确定时，须分解为图6-23所示的规则图形；4） 图乘求位移：对于每项图乘，图形面积A 与纵标线yc若在弯矩图基线的同侧则乘积为正，反之为负。图6-23几个规则图形的面积和形心位置二、图形的分解当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。 例如图 6-24所示两个梯形相图乘，拟定MP图提供面积， 图提供纵坐标。MP图梯形的形心不便确定，可作辅助线将图形分解为两个三角形（图6-24）或者分解为矩形和三角形（图6-24）。在分图形上标出形心C1 和图C2 ，在另一图形(图) 上标出C1和C2对应的纵坐标yc1和yc2. yc1和yc2也不便计算，可引一条辅助线（地角线或平行线）分段计算，然后求和。图形面积与纵坐标线段相乘时，判断在基线的同侧或异侧，从而确定乘积的正负。按照叠加法作弯矩图的过程，辅助线（虚线）即为后一弯矩图的基线。因此，图6-24a 、b所示图乘的过程分别为图6-24图形的分解读者可以自设l.a.b.c.d 的数值，代入以上两式，检验计算结果是否相同。例如图6-25所示的两个弯矩图相乘，作辅助线将原图形分解为简单的分图形。与图6-24所示图乘不同的是，分图形1在基线的上侧，对应的纵标线 在基线的下侧，此项图乘的乘积为负值。A1 yc1亦为负值；yc1和yc2的计算都是两条线段长度相减。6-25 图形的分解对均布荷载作用下的任一下直杆段（图6-26a），由区段叠加法作弯矩图的过程知，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加。其中抛物线图形为该杆段人作为简支梁在均布荷载作用下的弯矩图，如图6-26b所示。值得强调的是，当yc所属图形的图线不是一条直线而是由若干条直线段组成的折线时，或当杆段内截面的EI不相等时，均应按图乘法的适用条件分段图乘，再进行叠加。如图6-27所示。图 6-26 按区段叠加法绘弯矩图分析 图 6-27 分段图乘三、 图乘法计算直梁和刚架的位移下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移。【例6.4-1】 试求图6-28( a) 所示外伸梁C点的竖向位移CV。梁的EI=常数 解： MP. 图分别如图6-28(b).(c)所示。BC 段的MP图是标准二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。于是由图乘法得 代入以上数据,于是 图6-28 【例6.4-3】 试求图6-30(a)所示刚架结点B的水平位移BH。设各杆为矩形截面，截面尺寸为bh，惯性矩l=bh3/12,E为常数，只考虑弯矩变形的影响。图6-30解：先作出MP图和图，分别如图6-30(b) (c)所示。应用图乘法求得结点B的水平移为四、静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图11.25(a)所示静定结构,其支座发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移K。图6-31这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式(6-7)因为从实际状态中取出的微断ds的变形为d=du=，于是上式可简化为K= -iCi(6-15)这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中 为虚拟状态如图6-31(b)所示的支座反力，Ci为实际状态的支座位移，Ci为反力虚功。当与实际支座位移Ci 的方向一致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。【例6.4-4】 6-32(a)所示静定刚架，若支架A发生如图所示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm. 试求C点的水平位移cH、竖向位移cv。 图6-32解：在C 点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座反力如图6-32(b) (c) 所示。由公式（6-15）得；cH=-(11.0-11.5)=0.5cmcv=-1.51=-1.5cm6.5几个互等定理 一、功的互相等定理图6-33所示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2，称之为第一状态和第二状态。如果把第一状态作为力状态，把第二状态作为位移状态，根据虚功原理，第一状态的外力在第二状态相应移上所作的外力虚功，等于第一状态的内力在第二状态相应变形上所作的内力虚功. (a)如果以第二状态为力状态，第一状态为位移状态，则第二状态的外力在第一状态在相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的内力在第一状态相应变形上所作的内力虚功。即： (b)比较式(a)和式(b),则有 (6-16)一般形式为 (6-17) 这表明，第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功，这就是功的互等定理。 图6-33 功的互等定理 二.位移互等定理条件一：在结构的两种