高数导数的应用习题及答案

第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 一 是非题 函 数 在 上 连 续 且 则 至 少 存 在 一 点 xf ba bfaf 使 ba 0 f 错误 不满足罗尔定理的条件 若函数在的某邻域内处处可微 且 则函数必在处取得 xf 0 x 0 0 x f xf 0 x 极值 错误 驻点不一定是极值点 如 是其驻点 但不是极值点 3 xy 0 x 若函数在处取得极值 则曲线在点处必有平 行 于轴 xf 0 x xfy 00 xfxx 的切线 错误 曲线在点有平行于轴的切线 但不是极值点 3 xy 0 xx0 x 函数在内无极值 xxysin 正确 函数在内单调增 无极值 0cos1 xyxxysin 若函数在内具有二阶导数 且 则曲线在 xf ba 0 0 xfxf xfy 内单调减少且是向上凹 ba 正确 二 填空 设 为常数 在处有极值 则 xbxxaxf 2 lnba 2 1 21 xx a 2 3 b 1 6 当时 12 bx x a xf2 1 21 xx 解之得012 ba014 2 b a 6 1 3 2 ba 函数的极值点是 1ln 2 xxf0 x 令 得 又 x x xf2 1 1 2 0 x f0 x0 x 0 x f 函数在取得极小值 0 x 0 x f 1ln 2 xxf0 x 曲线的拐点是 xxxf 3 0 0 令 得 12 2 xxf xxf4 0 x f0 x 第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 又 函数的拐点是0 x 0 x f0 x 0 x f xxxf 3 0 0 曲线的凸区间是 xxfln 0 使无意义的点为 x xf 1 2 1 x xf x f 0 x 当时 曲线的凸区间是 0 x 0 x f xxfln 0 若 则 1 1 2 1 2sin lim 0 x beax x a b 即 x beax x 2sin lim 0 x beax x 2 lim 0 2 1 lim 2 1 0 x beax x 1lim 0 x beax x 又当时 0 x1 x ex1 1 ba 三 选择填空 下列函数中 在区间上满足罗尔定理条件的是 c 1 1 a b x exf xxgln c d 2 1xxh 00 0 1 sin x x x x xk 在端点的值不相等 在区间上不连续 x exf xxgln 1 1 对在不可导 00 0 1 sin x x x x xk0 x 在区间上满足罗尔定理的条件 c 是正确的 2 1xxh 1 1 罗尔定理的条件是其结论的 a a 充分条件 b 必要条件 c 充要条件 函数在区间上 a x x x x xf 1 1 10 2 3 2 2 0 a 满足拉格朗日定理条件 b 不满足拉格朗日定理条件 第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 1 2 3 lim 2 01 x x 1 1 lim 01 x x 11lim 1 fxf x 函数在连续 函数在上连续 xf1 x xf 2 0 1 2 3 1 1 1 2 x x x x f 1 11 1 1 2 1 x x xx f 函数在可导 函数在上可导 xf1 x xf 2 0 函数在上满足拉格朗日定理条件 因而 a 是正确的 xf 2 0 设在有二阶导数 则在处 a xf 0 x 0 0 x f 0 0 x f xf 0 x a 不能确定有无极值 b 有极大值 c 有极小值 设函数在具有二阶导数 且 则在内是 xf a 0 0 xfxf x x x f a 0 a a 单调增加的 b 单调减少的 0 2 x xfxf x x xf 0 xfxf x 在内是单调增加的 因而 a 是正确的 x x f a 0 函数的连续但不可导的点 d xf a 一定不是极值点 b 一定是极值点 c 一定不是拐点 d 一定不是驻点 四 计算题 0 sin lim tan x xx xx 解 22 222 0000 sin1 cos1 22 limlimlimlim tan1 sectan2 xxxx xx xxx xxxxx 2 x x ex x 1 cos1 lim 2 0 解 222 000 1 cossin limlimlim1 1 x xxx xxx xxxxxe 第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 1 11 lim 0 x x ex 解 2 00000 111111 limlimlimlimlim 12221 xxx x x xxxxx exexex xexxxx e xx x sinlnlim 0 解 22 00000 2 lnsincot lim lnsinlimlimlimlim0 11 tan xxxxx xxxx xx xx xx 11 sin lim 20 x xx x 解 原式 22 2 2 2 2000 11 limlimlim112 11 xxx xx x x x x sin lim sin x xx xx 解 sin 1 sin limlim1 sin sin 1 xx x xx x x xx x xx x x x 11ln lim 2 1 0 解 11 22 00 ln 1ln 11 limlim xx xx xxx xxx 2 00 1ln 1ln 11 1 limlim 2 xx xxxx xx 00 ln 11 limlim 222 xx xx xx 2 0 1ln lim x x x 第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 解 22 00 ln 1 limlim xx xx xx xx x 1lnlnlim 00 解 0 00 00 00 0 2 1 ln lim lnln 1limlnlimlim0 11 xxxx x x xxxx xx 10 求函数的极值 3 2 3 1xxy 解 定义域为 R 对函数两边取自然对数得 不妨设 01x 12 lnlnln 1 33 yxx 112 33 1 y yxx 所以 2 3 3 323 12311 3 1 33 1 3 1 31 xx yyxx xxx x xx 令 得 为不可导点0y 1 3 x 0 x 1x 列表 x 0 0 1 0 3 1 3 1 1 3 1 1 fx 不存在 0 不存在 f x 拐点极大值极小值 所以极大值为 极小值为 3 14 33 y 1 0y 11 若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数 求有最大面积的直角三角形 解 设两直角边分别为 则面积 xy 1 2 Sxy 0 0 xy 第三章 中值定理与导数的应用 复习题 1 设常数为 由 得 c 22 cxxy 22 2 cy x c 所以 22 4 cy Sy c 0yc 令 得 所以 2 3 44 cy S c 2 3 0 44 cy S c 3 c y 3 c x 驻点唯一 故当两直角边分别为 时直角三角形的面积最大 3 c 3 c 12 求乘积为常数 且其和为最小的两个正数 0a 解 设其中一正数为 则另一正数为 设这两个正数之和为 x a x S a Sx x 0 x 令 得 2 1 a S x 0S xa 驻点唯一 故当两个正数均为时其和为最小