1.7.2定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 目录 目录 一 摘要 二 变力沿直线所作的功 三 液体的侧压力 四 引力问题 五 转动惯量 摘要 摘要 伟大的科学家牛顿 有很多伟大的成就 建立了经典物理理论 比如 牛顿三大定律 万有引力定律等 另外 在数学上也有伟大的成就 创立了微积分 微积分 Calculus 是高等数学中研究函数的微分 积分以及有关概念和应用的数学分支 它是数学的一个基础学科 内容主要包括极限 微分学 积分学及其应用 微分学包括求 导数的运算 是一套关于变化率的理论 它使得函数 速度 加速度和曲线的斜率等均可 用一套通用的符号进行讨论 积分学 包括求积分的运算 为定义和计算面积 体积等提 供一套通用的方法 微积分最重要的思想就是用 微元 与 无限逼近 好像一个事物始终在变化你很难研究 但通过微元分割成一小块一小块 那就可以认为是常量处理 最终加起来就行 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 无限细分 就是微分 无限求和 就是积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的 思想看待问题 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一 在高中物理中 微积分思想多 次发挥了作用 定义 设函数 f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入若干个分点 a X0 X1 Xn 1 Xn b 把区间 a b 分成 n 个小区间 X0 X1 Xn 1 Xn 在每个小区间 Xi 1 Xi 上任取一点 i Xi 1 i Xi 作函数值 f i 与小区间长度 的乘积 f i Xi 并作出和 i n i i xs 1 如果不论对 a b 怎样分法 也不论在小区间上的点 i 怎样取法 只要当区间的长度趋于 零时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记作 dxxf a b 即 i n i i a b xfIdxxf 11 lim 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F x 作用下沿 x 轴从 x a 移动到 x b 力的方向与运动方向平行 求变 力所作的功 在 a b 上任取子区间 x x dx 在其上所作的功元素为 dxxFdW 因此变力 F x 在区间 a b 上所作的功为 dxxFW b a 例例 1 1 在一个带 q 电荷所产生的电场作用下 一个单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移 动到 b 处 a b 求电场力所做的功 解 当单位正电荷距离原点 r 时 由库仑定律电场力为 2 r q kF 则功的元素为 dr r kq dW 2 所求功为 ba kq r kqdr r kq W b a b a 111 2 说明 电场在 r a 处的电势为 a kq dr r kq a 2 例例 2 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体 由于气体的膨胀 把容器中的一 个面积为 S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 如图 求移动过程中气体压力所作的功 解 建立坐标系如图 由博伊尔马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 即 xS k V k p 故作用在活塞上的力为 x k pSF 功元素为 dx x k FdxdW 所求功为 a b kxkdx x k W b a b a lnln 例例 3 3 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m 底圆半径为 3m 试问要把桶中的水全部吸出需做多 少功 解 建立坐标系如图 在任一小区间 x x dx 上的一薄层水的重量为 KN dxg 2 3 这薄层水吸出桶外所做的功 功元素 为 xdxdW 9 故所求功为 5 0 5 0 2 2 99 x gxdxgW KJ g 5 112 液体侧压力液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强 hgp 当平板与水面平行时 平板一侧所受的压力为 pAP 当平板不与水面平行时 所受侧压力就需用积分解决 例例 4 4 一水平横放的半径为 R 的圆桶 内盛半桶密度为 的液体 求桶的一个端面所受的侧压力 解 建立坐标系如图 所论半圆的方程为 22 xRy Rx 0 利用对称性 侧压力元素 dxxRxgdP 22 2 端面所受侧压力为 322 3 2 2R g dxxRxgP 说明 当桶内充满液体时 小窄条上的压强为 侧压力元素 xRg dxxRxRgdP 22 2 故端面所受侧压力为 dxxRxRgP R R 22 2 令 tRxsin R R xR xR x Rg 0 2 22 arcsin 22 4 3 Rg 引力问题引力问题 质量分别为 的质点 相距 r 1 m 2 m 二者间的引力 大小 2 21 r mm kF 方向 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力 则需用积分解决 例例 5 5 设有一长度为 l 线密度为 的均匀直棒 在其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的 质点 M 式计算该棒对质点的引力 解 建立坐标系如图 细棒上小段 x x dx 对质点的引力大小为 22 xa dxm kdF 故垂直分力元素为 cosdFdFy 2222 xa a xa dxm k 2 3 22 xa dx akm 棒对质点的引力的垂直分力为 2 0 2 3 22 2 l y xa dx akmF 2 0 222 l xaa x akm 22 4 12 laa lkm 棒对质点引力的水平分力0 x F 故棒对质点的引力大小为 22 4 12 laa lkm F 说明 1 当细棒很长时 可视 l 为无穷大 此时引力大小 为 a km 2 方向与细棒垂直且指向细棒 2 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处移动到 b a b 处时克服引力作的功 则有 dy lyy lkm dW 22 4 12 b a lyy dy lkmW 22 4 2 3 当质点位于棒的左端点垂线上时 2 3 22 cos xa dx akmdFdFy 2 3 22 sin xa xdx kmdFdFx 注意正负号 l y xa dx akmF 0 2 3 22 l x xa xdx kmF 0 2 3 22 引力大小为yxFFF 22 转动惯量转动惯量 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 2 mrI 与轴 l 的距离为 质量为 1 2 n 的质点系 i r i mi 关于轴 l 的转动惯量为 2 i n li ir mI 若考虑物体的转动惯量 则需用积分解决 例 6 设有一个半径为 R 质量为 M 的均匀圆盘 1 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 2 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 解 1 建立坐标系如图 设圆盘面积为 对应于 x x dx 的小圆环对轴 l 的转动惯量 为 dxxdI 3 2 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 243 2 1 2 1 2IMRRdxx 2 R M 2 取旋转轴为 y 轴 建立坐标系如图 对应于 x x dx 的平行 y 轴的细条关于 y 轴的转动惯量元素 为 对应于 x x dx 的小圆环 质量xdx 2 dxxRxdxyxdI y 2222 22 故圆盘对 y 轴的转动惯量为 dxxR R R y 22 2I dxxRx R 22 0 2 4 tdttR 2 2 0 24 cossin4 令 x Rsint 24 4 1 4 1 MRR 2 R M 内容小结 1 用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤 1 先用微分分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微分的几何形状有 条 段 环 带 扇 片 壳等 2 然后用定积分来表示整体量 Q 并计算他 2 定积分的物理应用 变力做功 侧压力 引力 转动惯量等 为清除井底污泥 用缆绳将抓斗放入井底 抓起污泥后提出井口 已知井深 30m 抓斗 1 自重 400N 缆绳每米重 50N 抓斗抓起的污泥中 2000N 提升速度为 3m s 在提升过程中污 泥以 20N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 现将抓起污泥的抓斗提 升到井口 问克服重力需做多少焦耳 J 功 99 考研 提示 作 x 轴如图 将抓起污泥的抓斗由 x 提升 dx 所 作的功为 井深 30m 抓斗自重 400N 缆绳每米重 50N 抓斗抓起的污泥 中 2000N 提升速度为 3m s 污泥以 20N s 的速度从抓斗缝隙中 漏掉 321 ddWdWdWW 克服抓斗自重 dxdW400 1 克服缆绳中 dxxdW 3050 2 抓斗升至 x 处所需时间 s 3 x 思考与练习 提升抓斗中的污泥 dx x dW 3 202000 3 dx x xW 30 0 3 2020003050400 J91500 设星形线 上没一点处线密度的大小等于该点到 2tax 3 cos tay 3 sin 原点距离的立方 再点 O 处有一单位质点 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力 提示 如图 dsyxk yx dsyx kdF 2 1 22 22 2 3 22 cos dFdFx ds yx x yxk 22 2 1 22 kxds kydsdFdFy sin dtttattatakFx 2 2 2 23 cossin3sincos3cos 2 0 42 sincos3 tdttka 2 5 3 ka 同理 2 5 3 kaFy 故星形线在第一象限的弧段对该质点的