第21章二次根式拓展题.doc

第二十一章 二次根式21.1二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1、将1、按如图方式排列. 若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4，2）与（21，2）的两数之积是（ ）A.1 B.2 C. D.62、观察下列各算式：；（1）根据以上规律计算：（注意计算技巧哦！）.（2）请你猜想：的结果（用含n的式子表示）.3、【2011珠海】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数）,则有a+b=m2+2n2+2mn,a= m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2,用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ， b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ ）2；（3）若a+4=（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值.专题二 利用二次根式的性质求代数式的化简4、已知等式成立，求的值.5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简. 知识要点：1.二次根式的概念： 形如的式子叫做二次根式.2.二次根式的性质： （1）是一个非负数；（2）（3）温馨提示：1.的双非负性解题过程中要善加利用.解题过程中，不要只有其一，忘记其二；2.数学中的三个非负数是常用的考点.绝对值、平方、二次根式三个非负数的和若等于0，则每个数都等于0.方法技巧：1.二次根式的定义中被开方数大于等于0是解题的关键.2.题目中如果出现一个方程两个未知数，求未知数的值时，常常构造几个非负数的和等于0的形式.参考答案1、D 【解析】从图示中知道，（4，2）所表示的数是.前20排共有1+2+3+4+20=210个数，（21，2）表示的是第210+2=212个数.这些数字按照1、的顺序循环出现，2124=53，（21，2）表示的数是.（4，2）与（21，2）表示的两数之积是.2、【解】（1）原式=；（2）原式=.3、【解】（1）a=m2+3n2 b=2mn（2）4 2 1 1（答案不唯一）（3）根据题意得，2mn=4，且m、n为正整数，m=2，n=1或m=1，n=2.a=13或7.4、【解】由题意得a20120.原等式变形为.整理得.两边平方得.=2012.5、【解】由题意得a0,ab0. 原式=.21.2 二次根式的乘除专题一 二次根式的乘除运算1.计算的结果是（ ） A.1 B.1 C. D. 2.已知,且为偶数,求的值专题二 二次根式的化简3.把化成最简二次根式正确的结果是（） A.B.C.D.4. 化简，甲、乙两位同学的解法如下： 甲：； 乙： 对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（ ） A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙不正确 C. 甲、乙都不正确 D. 乙正确，甲不正确 5.已知m=，求的值.6.阅读下面的材料，解答后面给出的问题: 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式 互为有理化因式，例如与，与. （1）请你再写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： . 这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的 方法就可以了，例如：（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式： (3)化简时，甲的解法是：乙的解法是：以下判断正确的是（）A、甲的解法正确，乙的解法不正确 B、甲的解法不正确，乙的解法正确C、甲、乙的解法都正确 D、甲、乙的解法都不正确（4）已知则的值为（ ） A、5 B、6 C、3 D、4知识要点：1.二次根式乘法： ，反过来用于二次根式化简.2.二次根式的除法： ，反过来用于二次根式化简.3.最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.温馨提示：1.二次根式的乘法公式中，被开方数大于等于0，记忆公式一定要连同符号一起；2.二次根式的除法公式中，分子的被开方数大于等于0，分母的被开方数大于0；3.化简后的结果中被开方数中不含分数或者小数.方法技巧：1.将二次根式括号外面的数移入括号内时，一定注意将括号外的数先转化为正数.2.如果分母中含有二次根式时，将二次根式进行化简的三种类型:.参考答案1.D 【解析】原式=2.【解】由题意得,即，.为偶数 ，.= =.3.D 【解析】由题意得，所以.4.D 【解析】甲同学第一步分子、分母都乘以了，但当x=y时，相当于分子、分母同乘以0，所以不正确.乙第一步将分子xy分解因式，因为从已知条件的分母中得到x0，y0，且x、y不同时为0，所以xy=.第二步是分子、分母同时除以.由已知条件得0，所以满足分式的基本性质，故乙同学正确.5.【解】m=当m=时，原式=0.6.【解】（1）化为有理化因式的二次根式为与，答案不唯一；（2）（3）甲将分子、分母中同乘以分母的有理化因式，正确，乙将分子分解因式，再约分，正确，这两种方法都适合于二次根式的化简，故选C；（4）21.3二次根式的加减专题一 二次根式的混合运算1.规定“”和“”分别是一种新的运算符号，且，例如：3532251，3535510，那么（2）4_ .2.计算：.专题二 利用二次根式的混合运算求代数式的值3.已知，求代数式的值.4.若a，b为实数，且，试求的值.专题三 利用二次根式的运算进行计算或者证明5. 若,则 , , .6.已知a，b，c为ABC的三边长，且有.试说明ABC是等边三角形.知识要点：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.温馨提示：二次根式的混合运算常用到两个乘法公式：；.方法技巧：1.对新定义运算的题目，通常新定义符号的运算按照指定的运算法则进行，没指定的运算则按照原有的运算法则运行，即通常所说的“一题两制”.2.式子；在解题中常常用到.