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第二讲 线性变换的性质复合变换与二阶矩阵的乘法一、 数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则2.平面向量的加法：设，则性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则数乘结合律：；分配律：【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。二、直线在线性变换下的图形研究分别在以下变换下的像所形成的图形。伸缩变换：旋转变换：切变变换：特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 .（证明见课本P19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 恒等变换：旋转变换：切变变换：反射变换：投影变换：【练习：P27】【应用】试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程。四、复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量先在旋转变换：作用，再经过切变变换：作用的向量2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵A，B，则A与B的乘积AB【应用】1.计算 2.A ，B ，求AB3.求在经过切变变换：A=，及切变变换：B=两次变换后的像。4.设压缩变换：A，旋转变换：B，将两个变换进行复合，求向量在复合变换下的像；求在复合变换下的像；在复合变换下单位正方形变成什么图形？5.试研究椭圆伸缩变换：旋转变换： ；切变变换：；反射变换：；投影变换：五种变换作用下的新曲线方程。进一步研究在，等变换下的新曲线方程。【练习：P35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）A.反射变换B.投影变换C.切变变换D.伸缩变换2. 在切变变换：作用下，直线y=2x-1变为 3. 在A作用下，直线变为y=-2x-3,则直线为 4.在对应的线性边变换作用下，椭圆变为5.已知平面内矩形区域为（0x11,0x22）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为6.将椭圆绕原点顺时针旋转45后得到新的椭圆方程为7.在对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为8.计算：9.向量经过和两次变换后得到的向量为10.向量先逆时针旋转45o，再顺时针旋转15o得到的向量为11.函数的图像经过的伸缩变换，和的反射变换后的函数是12. 椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为13.已知，且，求矩阵。14.分别求出在、对应的线性边变换作用下，椭圆变换后的方程，并作出图形。15.函数先后经过怎样的变换可以得到？写出相应的矩阵。答案：1.2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 6. 7.
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