三说一看：二次函数教材详细分析(105p）

2018/1/5,1,整体把握二次函数的教学,北京市育英学校 王斌,2018/1/5,2,一、整体把握,二、核心观点,三、教学建议,2018/1/5,3,整体把握,一,实际问题,二次函数,利用二次函数的图象与性质求解,实际问题的答案,目标,本章知识结构,研究函数的方法,学法指导类比学习,2018/1/5,11,明线,暗线,重要，为什么重要,二、核心观点,整体把握函数主线,二次函数,通过图像,通过解析式,2018/1/5,13,二次函数的概念二次函数的图象和性质从函数观点看一元二次方程实际问题与二次函数,三、教学建议,围绕几个案例,明确五个教学要点,1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数,本章基本点： 二次函数的顶点本章基本方法：配方法和待定系数法本章基本思想：数形结合思想和转化思想,落实三个“基本”,2018/1/5,17,1.教师要具备整体的教学思想 -即系统的教学观.2.立足基础教学3.应用题教学要培养时代感和阅读能力.4.重视综合性. 5.注重数学思想方法的培养,课时安排-约14课时,26.1 二次函数及其图象 约7课时 26.1.1 二次函数 1课时 26.1.2 二次函数 的图象 1课时 26.1.3 二次函数 的图象 3课时 26.1.4 二次函数 的图象 1课时 26.1.5 待定系数法求二次函数表达式 1课时26.2 用函数观点看一元二次方程 1-2课时26.3 实际问题与二次函数 3-4课时 复习 2课时根据学生掌握的情况可灵活安排！,定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数。,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的,（2）等式的右边最高次数为 ， 可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,注意：,（3）x的取值范围是 .,整式,即b,c可以为0, 但a0.,2,任意实数,1.二次函数的定义,函数,解析式,定义域,正比例函数,y = kx （k0）,一切实数,反比例函数,y = k/x （k0）,x0,一次函数,y= kx+b（k0）,一切实数,二次函数,y=ax2+bx+c (a0),一切实数,类比学习：学会比较，学会找关系,2018/1/5,21,2018/1/5,22,引入方法2:从我们学过的函数说起，从代数的角度引入，让学生猜想，还会研究什么函数，为什么？ 如何研究，进行学法指导.,如：观察代数式 的值与x的值有什么关系？(2)观察代数式 的值与x的值有什么关系?(3) 是个什么样的函数呢？,对应,引入方法1：从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.,【题1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1)y=3(x-1)+1 (2)y=x+ (3)s=3-2t (4)y=(x+3)-x (5)y= -x (6)v=10 r （7）y= （8）y=,应看化简后的表达式,1.1二次函数的定义及相关概念,【题2】 （1） m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？,1.2根据二次函数定义确定字母的值,1、在边长为4的正方形中间挖去一个边长为x的小正方形，剩下的面积为y， 求y与x的函数关系式;2、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积s(平方厘米)与 矩形的一边长x(cm)之间的关系；3、某机械公司第一月销售50台， 求第三月销售y台与月平均增长率x之间 的关系式；4、已知二次函数 (a 0)中x,y的满足下表： 求这个二次函数关系式 .,1.3根据实际问题列二次函数表达式,【题3】,【题4】 一农民用40米长的篱笆围成一个一边靠 墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 x 米， 菜园的面积为 y 平方米，求 y 与 x 之间的函数关系式和 x 的取值范围 当x=12时，计算菜园的面积。,x m,y m2,(402x) m,【题5】如图：正方形ABCD的边长为4cm，点E在BC边上，点F为边CD上的一点，且AEAF，设AEF的面积为y，EC长为xcm，求y与x的函数关系式？并写出x的取值范围？,【题6】如图： ABC的面积为12cm2，BC6cm，点P在边BC上滑动，PDAB交AC于点D，如果BP xcm，ADP的面积为ycm2，问y是x的什么函数，并指出x的取值范围？,2.二次函数的图象与性质,注重全体学生的动手参与,要让学生会用描点法作图,明确过程，作图规范.培养学生观察及抽象概括能力, 要引导学生不断总结图象特征和性质,加深认识.,注重由简到繁,从特殊到一般的探索过程.,总体要求：,2018/1/5,31,案例：探索二次函数的图象和性质,以往教学的弊端：终结论，清过程操作形教学学生记结论，不知为什么所以容易混淆几种变换找不到关系，脑子乱，晕不能用函数的方法研究函数问题，,（主线，重要，为什么重要？如何探索？）,2018/1/5,32,转化思想,简单,复杂,先探索函数 的图象和性质,2018/1/5,33,重视描点法画图,描点法画图给学生创造进一步体会函数意义的机会.对于二次函数图象、性质的探讨，建议教师留出一段时间与学生共同列表、画图，在探索的过程中，会有许多疑问.而这恰是学习新知识的开始.,如何激发学生思考？,刨根问底,提出问题但不一定要解决问题提供思考的方向和解决的工具刺激学生进行思考,为什么描点作图时要画曲线？（一次函数的图象为什么是直线？）二次函数的图象为什么叫抛物线？什么是抛物线？（什么是双曲线？）抛物线为什么是轴对称图形？,2018/1/5,36,函数 的图象为什么是轴对称图形,动手画,观察形,分析数,两对比,再归纳,yax2的图象特点归纳,为什么图象“关于y轴对称？”,为什么图象“关于x=h轴对称？”,y=ax2+bx+c(a0),当b=0, c=0时 y=ax2 (a0) 当b=0, c0时 y=ax2+c(a0) 当b0, c=0时 y=ax2+bx (a0),对字母a、b、c的认识,利用控制变量法讨论参数对二次函数图象的影响,找住教育契机,最简,2018/1/5,41,（为什么这么研究？）,为什么要配方？怎么想到的？什么时候引导？如何引导？,y=ax2+bx (a0),2018/1/5,42,问题：为什么要用配方法？为什么配方后的形式简单？,2018/1/5,44,为什么是“左加右减”,从图象看,2018/1/5,45,-3-2-1012,-4-3-2-10-1,-2-10123,为什么是“左加右减”,2018/1/5,46,为什么是“左加右减”,A,拓展,B,C,2018/1/5,48,让学生体会,1、图象方面画图是学生应具备的基本技能, 图象是学生研究性质的重要媒介,（1）画函数图象的方法： （2）画函数图象的步骤：（3）画函数图象的注意事项：,2、性质方面了解研究函数性质的一般方法. (1)二次函数图象特征:开口方向，开口大小,对称轴，顶点坐标 (2)性质:最值、增减性(自变量如何影响因变量的变化),图象可由二次函数 的图象平移得到., 二次函数 的图象是抛物线.,总结,图象特征,关注顶点的平移,要让学生先写出平移前后顶点的坐标,再确定平移的方向和距离,2018/1/5,50,2018/1/5,51,通过把它转化为顶点式 来讨论的.,二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象和性质,y=a(x-h)2+ k(a0),当h=0, k=0时 y=ax2 (a0)， 当h=0, k0时 y=ax2+k (a0)当h0, k=0时 y=a(x-h)2 ( a 0),对字母h、k的认识,二次函数的图象及性质,当a0时开口向上，并向上无限延伸；当ay2 y3 B y1 y3 y2 C y2 y1 y3 D不能确定,2018/1/5,64,3.二次函数解析式的确定-待定系数法,（已知三点坐标） （已知对称轴、顶点） （已知抛物线与x轴 的交点）,必须落实人人落实,为什么有这三种形式？,2018/1/5,65,【例1】抛物线 的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ,典型例题：,2018/1/5,66,（1）已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标为(8,9)求这个二次函数的解析式。,（2）已知二次函数的图象过A (-2,0)、 B(1,0)、 C(0,2)三点,求这条抛物线的解析式。,（3）已知二次函数的图象过 (-3,0)、(1,0)、（2，5），求这个二次函数的解析式.,【例2】,2018/1/5,67,【例3】已知抛物线和y轴的交点（0，- ），和x轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1.（1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值，并求出这个最大值或最小值.,，,2018/1/5,68,【例4】如图二次函数的图象经过点M（1，-2）、 N（-1，6）（1）求二次函数的关系式（2）把RtABC放在坐标系内，其中CAB = 90，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5将ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求ABC平移的距离,2018/1/5,69,引导学生归纳：,一组图形两种变换三种表达式四个特殊点五个字母含义及作用,通过二次函数的学习，要让学生加深研究函数应该从哪些角度去关注,定义域解析式值域（最值）图象（形状、位置、特殊点）单调性最重要对称性周期性应用,解析式,图象,性质,初中,高中,2018/1/5,71,函数性质中最重要的是什么？,为什么说单调性是函数性质中最基本的也是最重要的？数学中研究函数主要是研究函数的变化特征，因为函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。单调性是描述函数“变化”的一个最基本且最重要的性质。因为，一旦我们清楚了表示某事物的函数的单调性，就大体把握了该事物的变化规律，可以大致画出函数图象的基本形状。从而获得函数的极值、最值等。（局部性质）,2018/1/5,72,4.用函数观点看一元二次方程,这一节内容可以类比用函数观点看方程（组）与不等式来学习，不要把它看做是新的内容，我们在学习一次函数时，就已经知道：1）求函数与x轴交点令y=0，2）求与y轴交点令x=0，3）求两个函数交点把两个函数联立解方程组.培养函数思维的意识，逐渐学会用函数观点看问题的方法，为后续学习用函数观点看方程奠基基础。 如何看？怎么看？什么是函数观点？（运动变化、对应）,2018/1/5,73,重点几件事：,了解一元二次方程根的几何意义 （抛物线与x轴的公共点的横坐标）抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。学会用函数的方法研究思考问题,2018/1/5,74,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,只有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,2018/1/5,77,二次函数 的图象特征与a、b、c及b2-4ac的关系,a决定图象的开口方向；c决定图象与y轴交点的位置；a、b共同决定图象的对称轴位置（左同右异）；b2-4ac决定图象与x轴的交点的个数；,2018/1/5,78,问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？20m？20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,(2）球从飞出到落地要用多少时间？,从实际出发，设计开放性问题，使学生领会方程与函数的联系以及相应的研究方法。,案例：,为什么只在一个时间球的高度20m？,为什么在两个时间球的高度15m？,为什么达不到20.5m?,为什么两个时间的球的高度为0m?,2018/1/5,80,方程中的t和函数中的t含义一样吗？,2018/1/5,81,方程中的x和函数中的x含义一样吗？,2018/1/5,82,2018/1/5,83,【题1】如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=,-3.3,x,A,1.3,.,【题2】已知抛物线y=x2 + mx +m 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.,2018/1/5,84,【题3】二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程 的两个根 （2）写出不等式 的解集 （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 （4）若方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围,2018/1/5,85,【题4】 下列命题：若 ，则 ； 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 ，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）.只有 只有 只有 只有,2018/1/5,86,（1）注意教材中“探究问题”的定位，组织、引导学生自主探索，在合作讨论中分析、解决问题，熟悉建立数学模型的方法；（2）会用二次函数解决生活中的最值问题， 注重学生综合能力的培养； （3）可结合各地实际情况，灵活应用数学活动.,5.实际问题与二次函数,实际问题,“二次函数应用” 的思路,建立数学模型,求解,解决实际问题,数学化,从实际问题的数量关系，建立二次函数模型；从实际问题的图形，获取信息，确定二次函数的模型，问题求解.,2018/1/5,88,教材在本节中，通过面积问题、最大利润、磁盘存储量、水位变化等四个探究问题，展示了二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.,2018/1/5,89,第1步：找出实际问题的变量，并用字母表示变量；,第2步：用自变量的代数式表示其他量；,第3步：用解析式表示等量关系；,第4步：利用二次函数的知识和问题实际解决问题,2018/1/5,90,抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？,0,(2,-2),(-2,-2),探究4,。,2018/1/5,91,2018/1/5,92,案例,“桥”引发的思考,2018/1/5,93,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,回顾赵州桥问题,2018/1/5,94,2,4,图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2m，水面宽4m. 当水面下降1m时，水面宽度增加了多少？,4,2,走近小拱桥问题,2018/1/5,95,法一,以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，建立直角坐标系（如图）,可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为,由抛物线过点(2,-2)，可得,这条抛物线所表示的二次函数为,当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:,当水面下降1m时,水面宽度增加了,2018/1/5,96,问题解决完了，思考远没有停止,2018/1/5,97,如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水面宽为10米.若正常水位时，有一艘宽8米，高2.5米的小船能否安全通过这座桥？,小船能否安全通过这座桥？,2018/1/5,98,(10,0),(5,3),解:以