高考数学一轮总复习 选修41 第1讲 相似三角形的判定及有关性质（22张ppt）课件 理 湘教版.pptVIP

第1讲相似三角形的判定及有关性质 考点梳理 1 定理 如果一组 在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段也 2 推论 经过三角形一边的 与另一边平行的直线必 第三边 经过梯形一腰的 且与底边平行的直线 另一腰 1 平行线等分线段定理及其推论 相等 相等 平行线 中点 中点 平分 平分 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的 成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的 成比例 1 定义 如果在两个三角形中 对应角 对应边 则这两个三角形叫做相似三角形 2 判定定理1 两角对应 的两个三角形相似 3 判定定理2 两边对应 并且夹角 的两个三角形相似 4 判定定理3 三边对应 的两个三角形相似 2 平行线分线段成比例定理及推论 3 相似三角形的判定 对应线段 对应线段 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 1 性质定理1 相似三角形对应边上的高 中线和它们周长的比都等于 2 性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的 4 相似三角形的性质 5 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项 如图 在rt abc中 cd是斜边上的高 则有cd2 ac2 bc2 相似比 平方 两直角边 斜边 斜边 ad bd ad ab bd ab 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案 考点自测 解析由rt ace与rt fcd和rt abd各共一个锐角 因而它们均相似 又易知 bfe a 故rt ace rt fbe 答案 fcd fbe abd 2 如图 bd ce是 abc的高 bd ce交于f 写出图中所有与 ace相似的三角形 2013 西安模拟 如图 在 abc中 m n分别是ab bc的中点 an cm交于点o 那么 mon与 aoc面积的比是 答案1 4 4 2011 陕西 如图 b d ae bc acd 90 且ab 6 ac 4 ad 12 则ae 答案2 例1 如图 f为 abcd边ab上一点 连df交ac于g 延长df交cb的延长线于e 求证 dg de df eg 考向一平行线等分线段成比例定理的应用 利用平行截割定理解决问题 特别注意被平行线所截的直线 找准成比例的线段 得到相应的比例式 有时需要进行适当的变形 从而得到最终的结果 训练1 如图 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 则ab的长为 例2 如图 在 abc中 d e分别是bc ab上任意点 efm cdm 求证 aef abd 证明 efm cdm 1 2 ef bc aef abd 考向二相似三角形的判定 判定三角形相似的思路大致有以下几条 1 已知条件 判定思路 2 一对等角 再找一对等角或找夹边成比例 3 两边成比例 找夹角相等 4 含有等腰三角形 找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应成比例 训练2 如图 网格中的每个小正方形的边长都是1 每个小正方形的顶点叫做格点 acb和 dce的顶点都在格点上 ed的延长线交ab于点f 1 求证 acb dce 2 求证 ef ab 2 由 acb dce 知 b e 又 bdf cde 在rt cde中 e cde 90 所以 bdf b 90 所以 efb 90 即ef ab 例3 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab e为ac的中点 ed cb延长线交于一点f 求证 fd2 fb fc 考向三相似三角形的性质 证明 e是rt acd斜边中点 ed ea a 1 1 2 2 a fdc cdb 2 90 2 fbd acb a 90 a fbd fdc f是公共角 fbd fdc 运用相似三角形的性质解决问题 主要考虑相似三角形的对应边 对应角 周长 面积之间的关系 多用于求某条线段的长度 求证比例式的存在 求证等积式的成立等 在做题时应注意认真观察图形特点 确定好对应边 对应角等 训练3 如图 abc中 ab ac ad是边bc的中线 p为ad上一点 cf ab bp的延长线分别交ac cf于点e f 求证 bp2 pe pf 证明连接cp abc为等腰三角形 ad为中线 bp cp abp acp ab cf abp f f acp epc为公共角 pce pfc 又 bp pc bp2 pf pe 例4 已知圆的直径ab 13 c为圆上一点 过c作cd ab于d ad bd 若cd 6 则ad 考向四直角三角形射影定理的应用 解析如图 连接ac cb ab是 o的直径 acb 90 设ad x cd ab于d 由射影定理得cd2 ad db 即62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 ad bd ad 9 答案9 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 训练4 在 abc中 acb 90 cd ab于d ad bd 2 3