复习课本重难考点大全(第二章函数、导数及其应用).doc

新课标高三数学总复习课本重难考点大全第二章：函数、导数及其应用 函数及其表示（一） 函数的概念：（了解）1、 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),xA，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值集合f（x）|xA叫做函数的值域；2、 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域；3、 定义域和对应关系为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数才是同一函数；4、 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间；5、 函数的常用表示方法：解析法、列表法、图像法；6、 若函数的定义域被分成了若干子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数就称为分段函数；（二） 映射的概念（熟记，易考）1、 一般地，设A、B为两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使得 集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个映射，记作：f：；2、 集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射有个；3、 若y=f(u),u=g(x),x（a，b），u（m，n）那么fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域；（三） 求函数定义域的基本依据（熟记，易考）1、 分式的分母不等于零； 2、 偶次方根的被开方数不小于零；3、 对数式的真数必须大于零；4、 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5、 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6、 指数为零的指数式子，底不可以等于零； 7、 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.8、 的定义域为x0;（四） 常用函数的值域（熟记，易考内容）1、 一次函数值域为R；2、 二次函数,a0时，值域为;a0;5、 对数函数，值域为R；6、 正余弦函数的值域为-1,1;7、 正切函数y=tanx,值域为R；8、 双钩函数,值域为；9、 函数的值域和定义域具有一一对应的关系，其值域为y|yR且y10、函数；（五） 求函数解析式及值域的基本方法（参见专题讲解）（理解）1、求函数解析式：（出现概率极大，容易出现在大题的第一问及填空）1）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。如已知f(f(x)=.,其中f(x)是一次函数或二次函数或者其他函数，可以相应地设或等，将其带入求出含有字母的表达式，最后再依次比较已知式子和含有字母式子的系数，令各对应项的系数相等，建立方程组来求解未知数即可。如设是一次函数，且，求2）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 如已知 ，求 的解析式3）换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化；如已知，求。4）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，用代入法；先根据对称关系求出相应的点然后代入；已知：函数的图象关于点对称，求的解析式5）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。一般形式为已知等形式，用x去替换或,组成方程组求解f(x);如设求6)赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。如已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求；7）递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。如设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求2、求函数值域（每年必考，各种题型都可能出现）1）直接观察法：牢记常见函数的值域。2）配方法：主要应用于二次函数；3）判别式法:主要应用于可化为关于x的一元二次方程的函数，方法是令判别式大于等于0，解不等式求得y的范围，最后根据实际情况对y进行进一步约束求得最终值域；4）反函数法：直接求原函数的值域较为困难的时候，可以考虑求反函数的定义域。主要依据是：原函数的值域就是反函数的定义域。原函数的定义域就是反函数的值域。5）函数有界性法：直接求值域较为困难的时候，可以将函数解析式进行变形，变成等式的一边为一个有界函数，等式另一边为关于y的式子，利用有界函数的值域令关于y的式子也在这个值域的范围内通过求解不等式得出y的范围。我们所学的函数中主要的有界函数有：等；6）函数单调性法；7）利用导数的性质；（重点掌握，容易在大题中出现）8）换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。9）数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。10）利用基本不等式法：常用的基本不等式如下：（易考内容） A、（ab乘积为常数时使用）；（ab乘积为常数时使用）；（a+b为常数时使用）B、(abc乘积为常数时使用)可变形为（a+b+c为常数时使用）C、（a+b为常数时使用）；D、两个重要结论：（易考结论，易出现在选择填空）a、两个数和一定，积有最大值；若和为定值，则当时，积有最大值；b、两个数积为定值，则和有最小值；若积为定值，则当时，和有最小值； 函数的基本性质（必考内容，常奇偶性、对称性、周期性结合考查，选择填空大题皆可涉及）（一） 函数的单调性（熟记）1、 设函数y=f(x)的定义域为A，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)x1;2） 作差： f(x2)-f(x1);3） 变形（通常是进行因式分解）；4） 定号（即判断f(x2)-f(x1)的正负）（该步骤是许多同学无法逾越的障碍，必须熟记）对于不能符号不唯一的因式，我们的处理办法是：令x1=x2=m,并令该因式=0，解方程求出m的值，用m的值将区间分成几段来进行讨论，对于不便直接看出正负关系的可在分段后的区间内取特殊值代入判断；5） 下结论（指出函数的单调性）。4、 判断函数单调性的常用方法：1） 利用单调性的定义；2） 具有单调性的函数的运算关系：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；3） 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；4） 奇函数在对称的两个区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间内具有相反的单调性；5） 利用导数:在某区间内f(x)0 恒成立，在该区间内函数为增函数；反之为减函数。5、复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.（二） 函数的奇偶性（熟记）1、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)叫做奇函数3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称这两个条件是函数具有奇偶性的充要条件。4、利用定义判断函数奇偶性的步骤：1）首先看函数定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.2）若对称：再根据定义：f(-x)-f(x)=0或f(x)f(-x)=1，函数为偶函数；f(-x)+f(x)=0或f(x)f(-x)=-1，函数为奇函数；5、 熟记以下性质可以给解题带来极大的方便：1） 设f（x）、g（x）的定义域分别为D1、D2，那么在他们的公共定义域上，有下列关系式成立：奇+奇=奇；奇*奇=偶；偶+偶=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇数；奇+偶=非奇非偶；2） 任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可以写成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）和的形式，即： 3)如果f(x)为奇函数，假如f(x)在其定义域内存在最大值M，那么必然存在最小值m=-M，即最大值与最小值之和互为相反数，和为0;2012年高考第16题作为难题考查 如果f(x)为偶函数，假如f(x)在定义域内存在最大值和最小值，那么最大值和最小值点至少有两个；（三） 函数的周期性(熟记，易结合三角函数考查)1、对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T叫做函数的周期.2、如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍nT也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.3、注意：1）周期函数不一定有最小正周期；2）4、若周期函数f（x）的周期为T，则是周期函数，且周期为；（四） 函数的对称性（熟记）1、一个函数自身的对称性（掌握，易出选择题）1）函数关于x轴对称，若点（x，y）在图像上，则点（x,-y）也在图像上，根据函数定义我们知道这样的情况是不存在的，任何一个函数图像都不可能关于x轴对称，因为一个自变量只能对应一个函数值；函数关于y轴对称，若点（x，y）在图像上，则点（-x，y）也在图像上，偶函数关于y轴对称；函数关于原点（0,0）对称，若点（x，y）在图像上，则点（-x，-y）也在图像上，奇函数关于原点对称；函数关于y=x对称，若点（x，y）在图像上，则点（y，x）也在图像上。2）拓展：（理解记忆，易考考点，常选择填空） 函数关于对称必有：或 或 思考如何证明？ 若，则函数关于直线 对称函数关于点对称必有：或或思考如何证明？若，则函数关于点 对称；函数不可能关于直线对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称；2、 两个函数间的对称性（理解记忆）（易考考点,一般选择填空）1）与关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2）与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称；5）关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6）与关于直线对称。思考以上结论如何证明？（五）函数奇偶性、周期性、对称性三者间的重要结论：（思考如何证明?）（熟记，了解推导过程，易出选择填空）1、 若函数y=f（x）既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称，那么函数y=f（x）是周期函数，周期为2|a-b|；2、 若函数y=f（x）既关于直线x=a对称，又关于点A(b，c)对称，那么函数y=f（x）是周期函数，周期为4|a-b|；（六）反函数的求法及其性质（熟记） 1、求函数反函数的步骤： 1）求原函数的值域； 2）反解x； 3）x与y互换； 4）写出反函数及它的定义域； 2、反函数的性质：（熟记）1)函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称;2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性。3)如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数.4)如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的反函数就是它本身.反之也成立。5)点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）6) 7) f-1f(x)=x;8) 证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得 y=f(x)反函数和y=f(x)相同； (七)函数的图像变换（必考考点，选择填空或大题中的中间步骤）1、对称变换（几种常用对应点的对称变换）（理解记忆）1）关于轴对称： 2）关于轴对称：3）关于原点对称： 4）关于对称：5）关于对称： 6）关于直线对称：（轴对称）7）关于对称： 8）关于对称：9）关于点对称：（点对称）2、对折变换（结合图像理解记忆）关于形如的图像画法：当时，；当时，为偶函数，关于轴对称，即把时的图像画出，然后时的图像与的图像关于轴对称即可得到所求图像.关于形如的图像画法当时，；当时，先画出的全部图像，然后把的图像轴下方全部关于轴翻折上去，原轴上方的图像保持不变，轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.3、平移及伸缩变换（结合图像理解记忆）水平平移把函数的全部图像沿轴方向向左（）或向右（）平移个单位即可得到函数的图像垂直平移把函数的全部图像沿轴方向向上（）或向下（）平移个单位即可得到函数的图像伸缩变换.将函数的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到函数的图像. 将函数的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长或缩短为原来的倍得到函数的图像.4、三角函数的图像变换（结合图像理解记忆，考选择题的概率极大）(1)振幅变换 (2)周期变换 (3)相位变换 (4)复合变换 初等函数的图像及性质一、指数函数(结合图像理解记忆)1、指数函数的图象和性质 0 a 1图 象性质定义域R值域(0 , +)定点过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a 1，当x 0时，y 1；当x 0时，0 y 1。（2）0 a 0时，0 y 1；当x 1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称2、第一象限：底数越大，图像越高二、对数函数（ a0且a1）（结合图像理解记忆）1、对数函数的图象和性质0 a 1图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0（2）在R上是减函数在R上是增函数（3）同正异负，即0 a 1 , 0 x 1 , x 1时，log a x 0；0 a 1或a 1 , 0 x 1时，log a x 1时，a越大，图像越靠近x轴； 当0a0时过定点（0,0）和（1,1）；当0时过定点（1,1）2、0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数3、0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.4、任何两个幂函数最多有三个公共点5、图像性质：在第一象限幂函数图像表现为：0时，越大，图像越陡；0时，越大，图像越靠近y轴远离x轴。四、三角函数：正弦、余弦、正切函数图象和性质（结合图像理解记忆）函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域当时，时，当时，当时，周期性是周期函数，最小正周期是周期函数，最小正周期奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在上是单调增函数在上是单调减函数在上是单调增函数在上是单调减函数在上是单调增函数对称轴对称中心 三个“二次”之间的关系（二次函数，一元二次方程，一元二次不等式）1、三个二次之间的联系（理解）二次函数判别式的情况一元二次方程一元二次不等式一元二次不等式图像与解 0不等式解集为：大大，小小取并集不等式解集为：大小小大取交集 = 0不等式解集为：不等式解集为：无解 0方程无解不等式解集为：R不等式解集为：无解2、一元二次方程根的分布条件（理解掌握）一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p0,求f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m。 对称轴x=-，顶点纵坐标为 情况1：对称轴在区间p,q左侧之外时，即x=-p，此时在p,q上函数单调递增： 最大值M=f（q），最小值m=f（p）； 情况2：对称轴在区间p,q右侧之外时，及x=-q，此时在p,q上函数单调递减： 最大值M=f（p），最小值m=f（q）； 情况3：对称轴在区间p,q之间时，即px=-q，此时函数在p,q上无单调性： 最大值M为f（p）和f（q）之间的较大者，最小值m=顶点纵坐标=。 （注意：如何确认f(p)和f(q)的大小？）a0时的情况和上面类似。4、一元二次不等式转化策略（掌握，常在大题中考查一问）(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是 (,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立 含指数式、对数式方程及不等式的转化（理解掌握，易出现在选择题和填空） 查阅课本复习指数、对数的运算规律及相关公式。1、 指数方程的基本类型（1），其解为；（2），转化为方程f（x）=g（x）求解；（3），左右取对数转化为求解；（4），用还原法先求方程F（y）=0的解，再解指数方程；2、指数型不等式的基本类型 (1) （2）；（3）的形式，可以令t= 转化为一元二次不等式来求解；3、含有对数式的方程（1）；（2）转化为：；（3），用还原法先求方程F（y）=0的解，再解对数方程。4、含有对数式不等式的基本类型（1）（2） 函数的应用（理解掌握）一、函数与方程（一）零点的意义及其判定（理解）1、函数零点的定义：对于函数y=f(x)(xD)，我们把使得f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f（x）(xD)的零点。即函数y=f(x)(xD)的零点就是方程f（x）=0的实数根，也是函数y=f(x)(xD)的图像与x轴交点的横坐标；2、方程f（x）=0有实数根 函数y=f(x)(xD)与x轴有交点函数y=f(x)(xD)有零点；3、函数零点存在定理：（易考考点）一般地，如果函数y=f（x）在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,两个零点；=0，一个零点；0无零点；（二）二分法及其基本步骤（理解掌握）1、二分法的定义：对于在区间a,b上连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法；2、对于给定精度，用二分法求函数y=f（x）的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a,b，验证f(a)f(b)0,给定精确度； （2）求区间的中点c； （3）计算f（c）： 1）若f（c）=0，则c就是函数的零点； 2）若f（a）f（c）0,则令b=c，此时零点x0(a,c); 3) 若f(c)f(b)0,则令a=c,此时零点x0 (c,b); (4)判断是否达到精确度，即若|a-b|x0时，就会有；2） 一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现：在区间(0,+)上，随着x的增大，增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，可能会小，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有x0时就有： 0时为增函数；当k=0时为常数函数；当k0时为减函数；当a 1时为增函数，0 a 1时为减函数；N为基础数值，p为增长率，y为经过x次增长的数值，0 p 1时，1+p 1为增长问题。-1 p 0时，0 1+p 为减少问题直线上升对数增长指数爆炸 导数及其应用（掌握）（考试分值：1个大题（12分）1个选择或填空（4-5分） 一、变化率与导数、导数运算（一）变化率的概念（理解） 1、函数的平均变化率：一般地，已知函数y=f(x), x0、x1是定义域内不同的两点，记， ，则当时，商称作函数y=f(x)在区间（或）内的平均变化率；2、瞬时变化率 如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c，那么称c为函数f（x）在点x0的瞬时变化率；（二）导数的意义1、y=f（x）在x0处的导数及导函数的概念：（理解，易考）（1）函数y=f（x）在x0处的瞬时变化率称为y=f（x）在x0处的导数，即；（2）如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导，对于开区间内的每一个x都对应着一个导数，这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这个函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作： 2、导数的几何意义（熟记，必考内容，一般出现在填空题） 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即该处切线的