【步步高】高考数学一轮复习讲义 第二章 2.5 二次函数.ppt

一轮复习讲义 二次函数 忆一忆知识要点 忆一忆知识要点 对称轴 顶点 时递减 时递增 时递增 时递减 2 二次函数的图象与性质 忆一忆知识要点 求二次函数的解析式 二次函数的图象与性质 且 二次函数的综合应用 02 分类讨论在二次函数中的应用 涉及方程f x ax2 bx c 0 a 0 的实根分布问题 一般情况下要从四个方面考虑 f x 图象的开口方向 方程f x 0的判别式 区间端点处函数值的符号 f x 图象的对称轴与区间的关系 1 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根分布问题 忆一忆知识要点 方程f x 0有两正根 方程f x 0有两负根 方程f x 0有一正根一负根 忆一忆知识要点 记f x ax2 bx c a 0 1 二次方程ax2 bx c 0 a 0 实根分布问题 2 二次函数图象和性质 二次函数y ax2 bx c a 0 1 开口方向 a 0时 开口 a 0时 开口 向上 向下 2 顶点 对称轴 顶点坐标为 对称轴方程为 3 与坐标轴的交点 与y轴的交点是 当 0时 与x轴两交点的横坐标x1 x2分别是方程ax2 bx c 0的两根 且 x1 x2 当 0时 与x轴切于一点 当 0时 与x轴 不相交 0 c 4 在对称轴的两侧单调性相反 5 当b 0时为偶函数 当b 0时为非奇非偶函数 有两不等实根x1 x2 x xx2 有两相等实根x1 x2 无实根 x x x1 r 3 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 x x1 x x2 4 不等式ax2 bx c 0恒成立问题 ax2 bx c 0在r上恒成立 f x ax2 bx c 0 a 0 在 m n 上恒成立 f x min 0 x m n ax2 bx c 0在r上恒成立 f x ax2 bx c0 在 m n 上恒成立 对勾函数 奇偶性 奇函数 单调性 例1 已知函数在区间 0 1 上的最大值是2 求实数a的值 对称轴为 当0 1 即0 a 2时 得a 3或a 2 与0 a 2矛盾 不合要求 当 0 即a 0时 y在 0 1 上单调递减 有ymax f 0 2 当 1 即a 2时 y在 0 1 上单调递增 综上 得 有ymax f 1 2 已知函数f x x2 8x 求函数f x 在区间 t t 1 上的最大值h t 解 f x x2 8x x 4 2 16 当t 14时 f x 在 t t 1 上单调递减 此时h t f t t2 8t 综上可知 练一练 例2 设不等式mx2 2x m 1 0对于满足 m 2的一切值都恒成立 求实数x的取值范围 解 设f m mx2 2x m 1 点评 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 则f m 是一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时 线段在x轴下方 所以实数x的取值范围是 1 练一练 与直线y k有交点 2 若方程x2 2x k在区间 1 1 上有解 则实数k的取值范围为 1 k 3 由图象 得 练一练 3 方程x2 mx 1 0的两根为 且则实数m的取值范围是 练一练 由图可知 方法2 设f x x2 mx 1 则f 0 1 3 方程x2 mx 1 0的两根为 且则实数m的取值范围是 练一练 例3 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 求集合m m 使方程f x mx有四个不相等的实根 2 由图象可知 y f x 与y mx图象有四个不同的交点 直线y mx应介于x轴与切线l1之间 解 作出图象如图所示 1 递增区间为 1 2 和 3 递减区间为 1 和 2 3 得x2 m 4 x 3 0 由 0 得 当时 舍去 所以集合m m 0 m 4 2 例3 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 求集合m m 使方程f x mx有四个不相等的实根 则问题转化为 m g x min 解 m 2x2 9x在区间 2 3 上恒成立 1 变量分离法 分离参数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式恒成立问题 评注 对于一些含参数的不等式恒成立问题 如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离 即使变量和参数分别位于不等式的左 右两边 然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题 问题等价于f x max 0 解 构造函数 2 转换求函数的最值 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 不等式恒成立问题 则 解 构造函数 例4 关于x的不等式在区间 2 3 上恒成立 则实数m的取值范围是 数形结合思想 不等式恒成立问题 解 据题意 由已知得