江西省师范大学附属中学-九江第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题-Word版含答案

20162016 届江西师大附中 九江一中第一次联考数学 理 试题届江西师大附中 九江一中第一次联考数学 理 试题 本试卷分为第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第第 I I 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 意 1 设 则 2 ln 1 Ax yxBy yx AB A B C D 1 2 1 2 2 正项等比数列中 是方程的两根 则的值是 n a 14029 a a 2 10160 xx 22015 log a A 2 B 3 C 4 D 5 3 函数满足 则的值为 3sin 2 0 3 f xx xfxf A B C D 6 3 5 6 3 2 4 曲线在点处的切线为 若直线 与 轴的交点分别为 则 1 0 yx x 00 P xyllxyAB 其中为坐标原点 的面积为 OAB O A B C 2D 42 2 2 252 7 5 设命题甲 关于的不等式有解 命题乙 设函数 在区间x 2 240 xax log 2 a f xxa 上恒为正值 那么甲是乙的 1 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6 已知三点不在同一条直线上 是平面内一定点 是内的一动点 若 A B COABCPABC 则直线一定过的 1 0 2 OPOAACCB APABC A 重心B 垂心C 外心D 内心 7 已知函数 的导函数为 若存在使得 ln2sinf xx 2 0 fx 0 1x 成立 则实数的取值范围为 00 fxf x A B C D 3 2 3 0 6 2 0 6 8 由的图象向左平移个单位 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 yf x 3 的图象 则为 1 2sin 3 6 yx f x A B C D 31 2sin 26 x 1 2sin 6 6 x 31 2sin 23 x 1 2sin 6 3 x 9 已知实数变量满足且目标函数的最大值为 8 则实数 的值为 x y 1 0 220 xy xy mxy 3zxy m A B C 2D 1 3 2 1 2 10 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C 2D 4 4 3 8 3 11 已知椭圆和双曲线焦点相同 且离心率互为倒数 它 1 C 2 C 12 F F 们的公共焦点 是椭圆和双曲线在第一象限的交点 当时 则椭P 12 60FPF 圆的离心率为 1 C A B C D 3 3 3 2 2 2 1 2 12 设函数在上存在导数 有 在上 若 xfR x f Rx 2 xxfxf 0 xxf 则实数的取值范围为 2 2 220fmfmmm m A B C D 1 1 1 2 2 2 第第 IIII 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知双曲线 的离心率为 则双曲线的渐近线方程为 1 C 22 22 1 xy ab 0a 0b 2 1 C 14 ABC 中 cos ACB cos CAB 且 0 则 AB 长为 CB BA 3 AB BC 15 正实数满足 则的最小值为 x y2 30 x y 46yx xy 16 四棱锥底面是一个棱长为 2 的菱形 且 DAB 60 各侧面和底面所成角均为 60 则此PABCD 棱锥内切球体积为 三 解答题三 解答题 本大题共 8 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知正项等比数列满足成等差数列 且 n a6 2 321 aaa 51 2 4 9 aaa 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 nnn aab 1log 3 n bn n T 18 某校在 2 015 年 11 月份的高三期中考试后 随机地抽取了 50 名学生的数学成绩并进行了分析 结果 这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间 现将结果按如下 方式分为 6 组 第一组 80 90 第二组 100 90 第六组 得到如右图所示的频率分布直方图 140 130 试估计该校数学的平均成绩 同一组中的数据用该区间的中 点值作代表 这 50 名学生中成绩在 120 分 含 120 分 以上的同学中任 意抽取 3 人 该 3 人在 130 分 含 130分 以上的人数记为 求X 的分布列和期望X 19 如图 已知四边形和均为直角梯形 且 ABCDBCEGADBCCEBG 2 BCDBCE 平面 平面 ABCDBCEG222 BGADCECDBC 证明 AG平面BDE 求平面和平面所成锐二面角的余弦值 BDEBAG 20 如图 已知椭圆的离心率为 其左 右顶点分别为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 3 0 2 0 2 21 AA 过点的直线 与该椭圆相交于两点 0 1DlMN 求椭圆的方程 C 设直线与的斜率分别为 试问 是否存在实数 使得 1 AM 2 NA 12 k k 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 21 kk 21 已知函数 其中 且为常数 1ln1 2 xxaxxfRa a 若对于任意的 都有成立 求的取值范围 1x 0 xfa 在 的条件下 若方程在上有且只有一个实根 求的取值范围 01 axf 2 0 xa x y O 分 分 分 分 分 分 1401201101009080 0 008 0 01 0 016 0 024 0 03 130 x y l O N M A1A2D 请考生在第 请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时用 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 AC为 O的直径 D为的中点 E为BC的中点 BC 求证 DE AB 求证 AC BC 2AD CD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 其中为参数 点是曲线 1 C上的xOy 1 C 13cos 3sin x y M 动点 点在曲线上 且满足 P 2 C2OPOM 求曲线 2 C的普通方程 以原点O为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 射线与曲线 1 C 2 C分别交于 x 3 A 两点 求 BAB 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设不等式的解集为 0212 xxMMba 证明 4 1 6 1 3 1 ba 比较与的大小 41 ab 2ba A B C D E O 评分参考评分参考 1 B1 B 2 A2 A 3 C3 C 4 C4 C 5 B5 B 6 A6 A 7 C7 C 8 B8 B 9 D9 D 10 D10 D 11 A11 A 12 B12 B 13 14 15 9 16 3yx 6 6 解析解析 11 11 A 在椭圆中 在双曲线中 1 C 1 2 2 P1 Stan30 F F b 2 C 1 2 2 P2 Scot30 F F b 所以 即 则 22 12 tan30 cot30bb 22 12 3bb 2222 12 3 acca 所以 由题知 则椭圆离心率 222 12 34aac 2 1 2 1 1 34 e e 1 3 3 e 12 12 B 令 2 1 2 g xf xx 22 11 0 22 gxg xfxxf xx 函数为奇函数 g x 时 函数在为减函数 0 x 0gxfxx g x 0 x 又由题可知 所以函数在上为减函数 0 0 0 0fg g xR 22 2 11 2m g m 2 2m m 22 2 m m220 gfmfm fmfm 所以 则 即 2 gmgmg m 2mm 1m 17 已知正项等比数列满足成等差数列 且 n a6 2 321 aaa 51 2 4 9 aaa 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 nnn aab 1log 3 n bn n T 解析 设正项等比数列的公比为 n a 0 qq 由 因为 所以 3999 2 3 2 4 22 351 2 4 q a a qaaaa0 q3 q 又因为成等差数列 所以6 2 321 aaa 301269046 1111231 aaaaaaa 所以数列的通项公式为 n a n n a3 方法一 依题意得 则 n n nb312 n n nT312373533 321 1432 3123123735333 nn n nnT 由 得 2321 333323122 nn n nT 12 12 1 323 31 33 2312 n n n nn 所以数列的前项和 n bn 1 3 n n nT 方法二 因为 所以 nnnn n nnnnnb313313312 1 1 3 n n nT 18 某校在 2 015 年 11 月份的高三期中考试后 随机地抽取了 50 名学生的数学成绩并进行了分析 结果 这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间 现将结果按如下方式分为 6 组 第一组 80 90 第二 组 100 90 第六组 得到如右图所示的频率分布直方图 140 130 试估计该校数学的平均成绩 同一组中的数据 用该区间的中点值作代表 这 50 名学生中成绩在 120 分 含 120 分 以上 的同学中任意抽取 3 人 该 3 人在 130 分 含 130 分 以上的人数记为 求的分布列和期望XX 解析 根据频率分布直方图 得 成绩在 120 130 的频率为 1 0 01 10 0 024 10 0 03 10 0 016 10 0 008 10 1 0 88 0 12 2 分 所以估计该校全体学生的数学平均成绩为 85 0 1 95 0 24 105 0 3 115 0 16 125 0 12 135 0 08 8 5 22 8 31 5 18 4 15 10 8 107 所以该校的数学平均成绩为 107 4 分 根据频率分布直方图得 这 50 人中成绩在 130 分以上 包括 130 分 的有 0 08 50 4 人 而在的学生共有 5 分 140 120 105008 0 5012 0 所以的可能取值为 0 1 2 3 6 分X 所以 P 0 P 1 XX P 2 P 3 10 分XX 所以 X 的分布列为 x y O 分 分 分 分 分 分 1401201101009080 0 008 0 01 0 016 0 024 0 03 130 数学期望值为 0 1 2 3 1 2 12 分EX 19 如图 已知四边形和均为直角梯形 且 ABCDBCEGADBCCEBG 2 BCDBCE 平面 平面 ABCDBCEG222 BGADCECDBC 证明 AG平面BDE 求平面和平面所成锐二面角的余弦值 BDEBAG 解析 由平面 平面 ABCDBCEG 平面ABCDBCEGBC 平平 平面BCEG 2 分 CEBC CE ECABCD 平平 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系 可得 3 分 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 1 0 0 2 1 BDEAG平平平平平平平平平 设平面 BDE 的法向量为 则 mx y z 0 2 2 2 0 2 EBED 即 00EB mED m 0 0 yz xz xyz 平面 BDE 的一个法向量为 5 分 1 1 1 m 平 2 1 1 AG 2 1 10AG m AGm AG 平面BDE 7 分AGBDE 平平 设平面的法向量为 平面和平面所成锐二面角为 8BAG zyxn BDEBAG 分 因为 由得 10 分平面 0 1 2 BA 1 0 0 BG0 0 BGnBAn 0 02 z yx 的一个法向量为 BAG 0 2 1 n 5 15 53 21 cos nm nm 故平面和平面所成锐二面角的余弦值为 12 分BDEBAG 5 15 20 如图 已知椭圆的离心率为 其左 右顶点分别为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 3 0 2 0 2 21 AA 过点的直线 与该椭圆相交于两点 0 1DlMN x y l O N M A1A2D 求椭圆的方程 C 设直线与的斜率分别为 试问 是否存在 1 AM 2 NA 12 k k 实数 使得 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 21 kk 解析 依题意可知 2 a1 3 2 3 22 cabce 所以椭圆的方程为 4 分1 4 2 2 y x 方法一 设直线的方程为 直线 2 NA的方程为 5 分 2 1 xky 2 2 xky 联立方程组 7 分 0 4161614 1 4 2 2 1 2 1 22 12 2 1 kxkxk y x xky 解得点M的坐标为 14 4 14 82 2 1 1 2 1 2 1 k k k k M 同理 可解得点N的坐标为 9 分 14 4 14 28 2 2 2 2 2 2 2 k k k k N 由三点共线 得化简有 11 分NDM 1 14 28 14 4 1 14 82 14 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 k k k k k k k k 0314 1221 kkkk 已知同号 所以 故存在 使得成立 12 分 21 k k 12 3kk 3 方法二 当直线 垂直于轴时 点的坐标分别为所以此时直线与的斜lxNM 2 3 1 2 3 1 NM 率分别为有 6 分 2 3 6 3 21 kk 12 3kk 由此猜想 存在满足条件 下面证明猜想正确 3 当直线 不垂直于轴时 设直线 的方程为 又设 lxl 1 xky 2211 yxNyxM 联立方程组 8 分 044814 1 4 1 2222 2 2 kxkxk y x xky 14 44 14 8 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 2 2 2 2 2 1 1 1 x y k x y k 22 21321 2 3 2 3 21 2112 1 1 2 2 12 xx xxkxxk x y x y kk 22 852 21 2121 xx xxxx k 11 分 0 22 8324088 1422 8 14 8 5 14 44 2 21 222 2 21 2 2 2 2 xx kkk k k xx k k k k k 由此可得猜想正确 故存在 使得成立 12 分 3 12 kk 3 21 已知函数 其中 且为常数 1ln1 2 xxaxxfRa a 若对于任意的 都有成立 求的取值范围 1x 0 xfa 在 的条件下若方程在上有且只有一个实根 求的取值范围 01 axf 2 0 xa 解析 由知 1 分 x axx x axxf 21 1 1 12 当时 对于恒成立 在上单调递增2 a 0 x f 1x xf 1 此时命题成立 3 分 01 fxf 当时 在上单调递减 在上单调递增 2 a xf 2 1 a 2 a 当时 有 这与题设矛盾 不合 2 1 a x 01 fxf 故的取值范围是 5 分a 2 依题意 设 原题即为若在上有且只有一个零点 2 a 1 axfxg xg 2 0 求的取值范围 显然函数与的单调性是一致的 a xg xf 当时 因为函数在区间上递减 上递增 所以在上的最小值为0 a xg 1 0 2 1 xg 2 0 11 ag 由于 要使在上有且只有一个零点 需满足或011 11 2 2 22 e a ee g xg 2 0 01 g 解得或 7 分 02 g1 a 2ln 2 a 当时 因为函数在上单调递增 且 所2 a xg 2 0 02ln222 02 41 48 4 g ee eg 以此时在上有且只有一个零点 9 分 xg 2 0 当时 因为函数在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 20 a xg 2 0 a 1 2 a 2 1 又因为 所以当时 总有 011 ag 2 2 a x 0 xg 022ln221 2222222222 aeaaeeegae a a a a a a a a a a 所以在上必有零点 又因为在上单调递增 从而当时 在上 xg 2 0 a xg 2 0 a 20 a xg 2 0 有且只有一个零点 11 分 综上所述 当或或时 方程在上有且只有一个实20 a 2ln 2 a1 a 01 axf 2 0 x 根 12 分 请考生在第 请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时用 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 AC为 O的直径 D为的中点 E为BC的中点 BC 求证 DE AB 求证 AC BC 2AD CD 证明 连接 OE 因为D为的中点 E为BC的中点 所以OED三点共线 2 分 因为E为BC的中点且O为AC的中点 所以OE AB 故DE AB 5 分 因为D为的中点 所以 BAD DAC 又 BAD DCB DAC DCB 又因为AD DC DE CE