高中数学 模块综合复习课3 推理与证明课件 北师大版选修12.pptVIP

第3课时推理与证明 知识网络 要点梳理 思考辨析 答案 归纳 特殊 演绎 已知条件 分析法 反证法 知识网络 要点梳理 思考辨析 1 归纳推理的特点及一般步骤 2 类比推理的特点及一般步骤 知识网络 要点梳理 思考辨析 3 直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是综合法和分析法 综合法是从已知条件推出结论的证明方法 分析法是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是反证法 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 知识网络 要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 综合法证明的依据是三段论 2 分析法与综合法证明同一个问题时 一般思路恰好相反 过程相逆 3 进行类比推理时 只要抓住一点表面的相似甚至假象就可以进行类比 4 进行类比推理时 可以从处理一类问题的方法入手进行类比 5 进行归纳推理时 要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式 以便于作出归纳猜想 6 推理证明过程叙述要完整 严谨 逻辑关系清晰 不跳步 知识网络 要点梳理 思考辨析 7 当演绎推理的前提为真时 结论一定为真 8 合情推理得到的结论可能为真也可能为假 9 用反证法证明数学命题时 可以不把反设作为推理依据 10 分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可 而不是充要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专题归纳 高考体验 专题一合情推理 例1 1 有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 则观察每组内各数之和f n n n 与组的编号数n的关系式为 2 若数列 an 为等差数列 sn为其前n项和 则有性质 若sm sn m n n 且m n 则sm n 0 类比上述性质 相应地 当数列 bn 为等比数列时 写出一个正确的性质 专题归纳 高考体验 解析 1 由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 2 在等差数列中 若sm sn 不妨设m n 则am 1 am 2 an 0 即am 1 an 0 相应地 在等比数列中 设tm表示数列 bn 前m项的积 若tm tn 不妨设m n 则bm 1 bm 2 bn 1 所以bm 1 bn 1 所以tm n b1 b2 b3 bm n 1 答案 1 f n n3 2 数列 bn 为等比数列 tm表示其前m项的积 若tm tn m n n 且m n 则tm n 1 专题归纳 高考体验 反思感悟1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 常见的归纳推理题目主要涉及两个类型 数的归纳和形的归纳 其求解思路如下 1 通过观察个别对象发现某些相同性质 2 由相同性质猜想得出一般性结论 需特别注意一点 由归纳猜想得出的结论未必正确 常需要严格的推理证明 2 类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理 显然其特征是由特殊到特殊的推理 常见的类比情形有 平面与空间类比 向量与数的类比 不等与相等类比 等差数列与等比数列的类比等等 需注意一点 由类比推理得出的结论也未必正确 也需要严格证明 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题二综合法与分析法 例2 已知a b c r 且a b c 1 思路分析 这是一个条件不等式的证明问题 要注意观察不等式的结构特点 合理应用条件a b c 1 可用综合法和分析法两种方法证明 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 反思感悟综合法是从已知条件出发 经过逐步推理 最后得到待证的结论 而在分析法中 以结论出发的每一步所得到的都是使结论成立的充分条件 最后一步归结到已被证明了的事实或已知 专题归纳 高考体验 变式训练2已知函数 1 判断f x 的奇偶性 2 证明 f x 0 1 解 因为2x 1 0 所以函数f x 的定义域为 x x 0 所以f x f x 所以f x 是偶函数 2 证明 因为x 0 所以当x 0时 2x 1 2x 1 0 x3 0 所以f x 0 当x0 f x f x 0 所以f x 0 综上可知 f x 0 专题归纳 高考体验 专题三反证法 例3 在 abc中 a b c的对边长分别为a b c 若a b c三边的倒数成等差数列 求证b 90 思路分析 直接证明b 90 一定有困难 可考虑利用反证法 专题归纳 高考体验 反思感悟应用反证法证明命题时要注意以下三点 1 必须先否定结论 当结论的反面有多种情况时 必须罗列各种情况加以论证 缺少任何一种可能 反证法都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾多种多样 有的与已知相矛盾 有的与假设相矛盾 有的与已知事实相矛盾等等 推出的矛盾必须是明显的 专题归纳 高考体验 变式训练3已知直线ax y 1与曲线x2 2y2 1相交于p q两点 证明不存在实数a 使得以pq为直径的圆经过坐标原点o 专题归纳 高考体验 专题四转化与化归思想 例4 设f x 2x2 1 a b 1 且a b同号 求证 对任意实数p q恒有af p bf q f ap bq 成立 证明 f x 2x2 1 a b 1 af p bf q a 2p2 1 b 2q2 1 f ap bq 2 ap bq 2 1 又af p bf q f ap bq a 2p2 1 b 2q2 1 2 ap bq 2 1 2ap2 2bq2 2a2p2 4abpq 2q2b2 2ap2 1 a 2bq2 1 b 4abpq 2abp2 2abq2 4abpq 2ab p q 2 因为a b同号 所以2ab p q 2 0 所以原不等式成立 专题归纳 高考体验 反思感悟1 所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时 采用某种手段将问题通过变换 转化 进而使问题得到解决的一种解题策略 一般是将复杂的问题进行变换 转化为简单的问题 将较难的问题通过变换 转化为容易求解的问题 将未解决的问题转化为已解决的问题 2 本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面 归纳推理中由个别到一般的转化 演绎推理中一般到特殊的转化 分析法中结论与条件的转化 反证法中正难则反的转化 数学归纳法中无限与有限的转化等 专题归纳 高考体验 变式训练4已知数列 an 满足 a1 1 4an 1 anan 1 2an 9 n n 1 求a2 a3 a4 2 由 1 的结果猜想an用n表示的表达式 不证明 专题归纳 高考体验 考点一 合情推理1 2017全国 高考 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 a 乙可以知道四人的成绩b 丁可以知道四人的成绩c 乙 丁可以知道对方的成绩d 乙 丁可以知道自己的成绩解析 因为甲不知道自己的成绩 所以乙 丙的成绩是一位优秀一位良好 又因为乙知道丙的成绩 所以乙知道自己的成绩 又因为乙 丙的成绩是一位优秀一位良好 所以甲 丁的成绩也是一位优秀一位良好 又因为丁知道甲的成绩 所以丁也知道自己的成绩 故选d 答案 d 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 4 2016课标甲高考 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 解析 由丙说的话可知 丙的卡片上的数字可能是 1和2 或 1和3 若丙的卡片上的数字是 1和2 则由乙说的话可知 乙的卡片上的数字是 2和3 甲的卡片上的数字是 1和3 此时与甲说的话一致 若丙的卡片上的数字是 1和3 则由乙说的话可知 乙的卡片上的数字是 2和3 甲的卡片上的数字是 1和2 此时与甲说的话矛盾 综上可知 甲的卡片上的数字是 1和3 答案 1和3 专题归纳 高考体验 考点二 反证法5 2014山东高考 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实根c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根解析 至少有一个 的否定为 没有 答案 a 专题归纳 高考体验 考点三 新定义 解析 a 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 如图 b中元素共25个 专题归纳 高考体验 答案 c 专题归纳 高考体验 7 2