高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 苏教版.ppt

7 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应边界直线 则把边界直线画成 2 由于对直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的即可判断ax by c 0表示的直线是ax by c 0哪一侧的平面区域 知识梳理 平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号 2 线性规划相关概念 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3 重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界 特殊点定域 1 直线定界 不等式中无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 2 特殊点定域 若直线不过原点 特殊点常选原点 若直线过原点 则特殊点常选取 0 1 或 1 0 来验证 1 利用 同号上 异号下 判断二元一次不等式表示的平面区域 对于ax by c 0或ax by c0时 区域为直线ax by c 0的上方 2 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的下方 2 最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 2 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 3 点 x1 y1 x2 y2 在直线ax by c 0同侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 异侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 4 第二 四象限表示的平面区域可以用不等式xy 0表示 5 线性目标函数的最优解是唯一的 6 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 7 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 考点自测 1 教材改编 已知点a 1 0 b 2 m 若a b两点在直线x 2y 3 0的同侧 则m的取值集合是 答案 解析 因为a b两点在直线x 2y 3 0的同侧 所以把点a 1 0 b 2 m 代入可得x 2y 3的符号相同 即 1 2 0 3 2 2m 3 0 解得m 2 教材改编 如图所示 表示阴影部分的二元一次不等式组是 答案 解析 不等式y 2x 1表示直线y 2x 1下方的平面区域及直线上的点 不等式x 2y 4表示直线x 2y 4上方的平面区域 所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域 3 2016 北京改编 若x y满足则2x y的最大值为 答案 解析 4 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 令z 2x y 则y 2x z 作直线2x y 0并平移 当直线过点a时 截距最大 即z取得最大值 所以a点坐标为 1 2 可得2x y的最大值为2 1 2 4 几何画板展示 4 教材改编 若则z x y的最大值为 答案 解析 1 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示 含边界 令z 0 作直线l y x 0 当直线l向下平移时 所对应的z x y的函数值随之增大 当直线l经过可行域的顶点m时 z x y取得最大值 顶点m是直线x y 1与直线y 0的交点 解方程组 得顶点m的坐标为 1 0 代入z x y 得zmax 1 几何画板展示 5 教材改编 投资生产a产品时 每生产100吨需要资金200万元 需场地200平方米 投资生产b产品时 每生产100吨需要资金300万元 需场地100平方米 现某单位可使用资金1400万元 场地900平方米 则上述要求可用不等式组表示为 用x y分别表示生产a b产品的吨数 x和y的单位是百吨 答案 解析 用表格列出各数据 所以不难看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 题型分类深度剖析 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1 1 不等式组所表示的平面区域的面积等于 答案 解析 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分 a 0 b 1 1 c 0 4 则 abc的面积为 2 教材改编 画出二元一次不等式组表示的平面区域 解答 先画出直线x y 5 0 画成虚线 原点不在x y 5 0表示的平面区域内 即x y 5 0表示直线x y 5 0左上方点的集合 同理可得 x y 0表示直线x y 0上及其右上方点的集合 x 3表示直线x 3上及其左边的点的集合 故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分所示 取o 0 0 代入x y 5 5 0 命题点2含参数的平面区域问题例2 1 2015 重庆改编 若不等式组表示的平面区域为三角形 且其面积等于 则m的值为 答案 解析 1 不等式组表示的平面区域如图 则图中a点纵坐标ya 1 m b点纵坐标yb c点横坐标xc 2m 又 当m 3时 不满足题意 应舍去 m 1 m 1或m 3 2 若不等式组所表示的平面区域被直线y kx 分为面积相等的两部分 则k的值是 答案 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线y kx 过定点 因此只有直线过ab中点时 直线y kx 能平分平面区域 因为a 1 1 b 0 4 所以ab中点d 几何画板展示 1 求平面区域的面积 首先画出不等式组表示的平面区域 若不能直接画出 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 从而再作出平面区域 对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法去求解 思维升华 跟踪训练1 1 若函数y 2x图象上存在点 x y 满足约束条件则实数m的最大值为 答案 解析 1 在同一直角坐标系中作出函数y 2x的图象及所表示的平面区域 如图阴影部分所示 由图可知 当m 1时 函数y 2x的图象上存在点 x y 满足约束条件 故m的最大值为1 几何画板展示 2 2016 江苏徐州四校模拟 若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部 则a的取值范围是 答案 解析 5 7 不等式x y 5 0和0 x 2表示的平面区域如图所示 因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部 所以由图可知5 a 7 题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3 2016 全国丙卷 若x y满足约束条件则z x y的最大值为 答案 解析 满足约束条件的可行域为以a 2 1 b 0 1 为顶点的三角形内部及边界 则y x z过点时取得最大值 命题点2求非线性目标函数的最值 解答 例4实数x y满足 1 若z 求z的最大值和最小值 并求z的取值范围 几何画板展示 由作出可行域 如图中阴影部分所示 z 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 因此的范围为直线ob的斜率到直线oa的斜率 直线oa的斜率不存在 即zmax不存在 由得b 1 2 kob 2 即zmin 2 z的取值范围是 2 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 解答 z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此x2 y2的最小值为oa2 最大值为ob2 由得a 0 1 z的取值范围是 1 5 引申探究1 若z 求z的取值范围 解答 z 可以看作过点p 1 1 及 x y 两点的直线的斜率 z的取值范围是 0 2 若z x2 y2 2x 2y 3 求z的最大值 最小值 解答 z x2 y2 2x 2y 3 x 1 2 y 1 2 1 而 x 1 2 y 1 2表示点p 1 1 与q x y 的距离的平方pq2 0 1 2 2 1 2 2 zmax 2 1 3 zmin 1 命题点3求参数值或取值范围例5 1 2015 山东改编 已知x y满足约束条件若z ax y的最大值为4 则a的值为 答案 解析 2 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 易知a 2 0 由得b 1 1 由z ax y 得y ax z 当a0时 z ax y在a 2 0 处取得最大值 z 2a 4 a 2 满足题意 当a 0时 显然不满足题意 2 已知a 0 x y满足约束条件若z 2x y的最小值为1 则a 答案 解析 作出不等式组表示的可行域 如图 阴影部分 易知直线z 2x y过交点a时 z取最小值 zmin 2 2a 1 解得a 1 先准确作出可行域 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2 当目标函数是非线性的函数时 常利用目标函数的几何意义来解题 常见代数式的几何意义 表示点 x y 与原点 0 0 的距离 表示点 x y 与点 a b 的距离 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 3 当目标函数中含有参数时 要根据临界位置确定参数所满足的条件 思维升华 跟踪训练2 1 2016 江苏大港中学质检 设m 1 在约束条件下 目标函数z x 5y的最大值为4 则m的值为 答案 解析 3 作出可行域 把目标函数化为y 显然只有y 在y轴上的截距最大时z值最大 根据图形 目标函数在点a处取得最大值 代入目标函数 解得m 3 2 2016 江苏天一中学月考 已知x y满足约束条件如果 2 是z ax y取得最大值时的最优解 则实数a的取值范围是 答案 解析 画出可行域如图 将目标函数化为直线的斜截式方程y ax z 当目标函数的斜率大于等于3y x 2的斜率时 直线y ax z在点 2 处截距最小 即a 时 2 是目标函数z ax y取得最大值时的最优解 题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵 骑兵 伞兵这三种玩具共100个 生产一个卫兵需5分钟 生产一个骑兵需7分钟 生产一个伞兵需4分钟 已知总生产时间不超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5元 生产一个骑兵可获利润6元 生产一个伞兵可获利润3元 1 试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润 元 解答 依题意每天生产的伞兵个数为100 x y 所以利润 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 2 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 最大利润是多少 解答 约束条件为 整理得 作初始直线l0 2x 3y 0 平移l0 当l0经过点a时 有最大值 故每天生产卫兵50个 骑兵50个 伞兵0个时利润最大 且最大利润为550元 最优解为a 50 50 此时 max 550元 目标函数为 2x 3y 300 作出可行域 如图所示 解线性规划应用问题的一般步骤 1 审题 仔细阅读材料 抓住关键 准确理解题意 明确有哪些限制条件 借助表格或图形理清变量之间的关系 2 设元 设问题中起关键作用 或关联较多 的量为未知量x y 并列出相应的不等式组和目标函数 3 作图 准确作出可行域 平移找点 最优解 4 求解 代入目标函数求解 最大值或最小值 5 检验 根据结果 检验反馈 思维升华 跟踪训练3某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机 每台a型和b型电视机所得利润分别为6和4个单位 而生产一台a型和b型电视机所耗原料分别为2和3个单位 所需工时分别为4和2个单位 如果允许使用的原料为100个单位 工时为120个单位 且a型和b型电视机产量分别不低于5台和10台 应当生产每种类型电视机多少台 才能使利润最大 解答 设生产a型电视机x台 b型电视机y台 则根据已知条件知线性约束条件为 线性目标函数为z 6x 4y 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示 解方程组 所以生产两种类型电视机各20台时 所获利润最大 作直线l0 3x 2y 0 当直线l0平移至点a时 z取最大值 典例 1 在直角坐标系xoy中 若不等式组表示一个三角形区域 则实数k的取值范围是 2 已知x y满足约束条件若z ax y的最大值为4 则a 含参数的线性规划问题 现场纠错系列7 现场纠错 纠错心得 错解展示 解析 1 如图 直线y k x 1 1过点 1 1 作出直线y 2x 当k2时 不等式组表示一个三角形区域 2 由不等式组表示的可行域 可知z ax y在点a 1 1 处取到最大值4 a 1 4 a 3 答案 1 1 0 2 2 2 3 返回 解析 1 直线y k x 1 1过定点 1 1 当这条直线的斜率为负值时 该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方 即直线的斜率为 1 只有此时可构成三角形区域 2 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 由得a 1 1 z ax y等价于y ax z 因为z的最大值为4 即直线y ax z的纵截距最大为4 若z ax y在a 1 1 处取得最大值 则纵截距必小于2 故只有直线y ax z过点 2 0 且 a 0时符合题意 4 a 2 0 即a 2 答案 1 1 2 2 返回 1 含参数的平面区域问题 要结合直线的各种情况进行分析 不能凭直觉解答 2 目标函数含参的线性规划问题 要根据z的几何意义确定最优解 切忌搞错符号 返回 课时作业 1 若点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 则m的取值范围是 答案 解析 1 由2m 3 5 0 得m 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2016 江苏苏州暑期检测 已知变量x y满足约束条件则目标函数z 2x y的最大值是 答案 解析 7 作出可行域 如图 由图可知 当目标函数过点a 5 3 时 z取最大值 所以zmax 2 5 3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 直线2x y 10 0与不等式组表示的平面区域的公共点有 个 答案 解析 1 由不等式组画出可行域的平面区域如图 阴影部分 直线2x y 10 0恰过点a 5 0 且其斜率k 2 kab 即直线2x y 10 0与平面区域仅有一个公共点a 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 若不等式组表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式组表示的平面区域如图 阴影部分 求a b两点的坐标分别为和 1 0 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是0 a 1或a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2016 天津改编 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 5y的最小值为 答案 解析 6 由约束条件作出可行域如图所示 目标函数可化为y 在图中画出直线y 平移该直线 易知经过点a时z最小 又知点a的坐标为 3 0 zmin 2 3 5 0 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 设x y满足约束条件则z 2x y的最大值为 答案 解析 8 画出可行域如图所示 由z 2x y 得y 2x z 欲求z的最大值 可将直线y 2x向下平移 当经过区域内的点 且满足在y轴上的截距 z最小时 即得z的最大值 如图 可知当过点a时z最大 即a 5 2 则zmax 2 5 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2016 江苏 已知实数x y满足则x2 y2的取值范围是 答案 解析 已知不等式组所表示的平面区域如图 x2 y2表示原点到可行域内的点的距离的平方 解方程组得a 2 3 由图可知 x2 y2 min x2 y2 max oa2 22 32 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2017 苏北三市质检 若实数x y满足约束条件 3x 4y 10 的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出实数x y在约束条件下的平面区域 如图所示 令z 3x 4y 10 则平移直线3x 4y 0经过点a 1 0 时 zmax 3 10 7 平移直线3x 4y 0经过点b 时 zmin 3 10 即 z 3x 4y 10 7 从而7 3x 4y 10 所求的 3x 4y 10 的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 已知变量x y满足约束条件若z x 2y的最大值与最小值分别为a b 且方程x2 kx 1 0在区间 b a 上有两个不同实数解 则实数k的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出可行域 如图所示 则目标函数z x 2y在点 1 0 处取得最大值1 在点 1 1 处取得最小值 3 a 1 b 3 从而可知方程x2 kx 1 0在区间 3 1 上有两个不同实数解 令f x x2 kx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 2016 浙江改编 在平面上 过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影 由区域中的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段记为ab 则ab 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知不等式组表示的平面区域如图中 pmq所示 因为l与直线x y 0平行 所以区域内的点在直线x y 2上的投影构成线段ab 则ab pq 由解得p 1 1 由解得q 2 2 所以ab pq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 不等式组的解集记为d 有下面四个命题 p1 x y d x 2y 2 p2 x y d x 2y 2 p3 x y d x 2y 3 p4 x y d x 2y 1 其中的真命题是 答案 解析 p1 p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式组表示的平面区域d如图中阴影区域所示 含边界 设z x 2y 作出直线l0 x 2y 0 经平移可知直线l z x 2y经过点a 2 1 时z取得最小值0 无最大值 对于命题p1 由于z的最小值为0 所以 x y d x 2y 0恒成立 故x 2y 2恒成立 因此命题p1为真命题 由于 x y d x 2y 0 故 x y d x 2y 2 因此命题p2为真命题 由于z x 2y的最小值为0 无最大值 故命题p3与p4错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 若实数x y满足x2 y2 1 则 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 答案 解析 3 x2 y2 1 6 x 3y 0 当2x y 2 0时 t x 2y 4 点 x y 可取区域 内的点 含边界 通过作图可知 当直线t x 2y 4过点a 时 t取最小值 令t 2x y 2 6 x 3y tmin 4 3 当2x y 2 0时 t 8 3x 4y 点 x y 可取区域 内的点 不含线段ab 通过作图可知 此时t 8 3 4 3 综上 tmin 3 即 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 给定区域d 令点集t x0 y0 d x0 y0 z x0 y0 是z x y在d上取得最大值或最小值的点 则t中的点共确定 条不同的直线 答案 解析 6 作出图形可知 abf所围成的区域即为区域d 其中a 0 1 是z在d上取得最小值的点 b c d e f是z在d上取得最大值的点 则t中的点共确定ab ac ad ae af bf共6条不同的直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 已知d是以点a 4 1 b 1 6 c 3 2 为顶点的三角形区域 包括边界与内部 如图所示 1 写出表示区域d的不等式组 解答 直线ab ac bc的方程分别为7x 5y 23 0 x 7y 11 0 4x y 10 0 原点 0 0 在区域d内 故表示区域d的不等式组为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 设点b 1 6 c 3 2 在直线4x 3y a 0的异侧 求a的取值范围 解答 根据题意有 4 1 3 6 a 4 3 3 2 a 0 即 14 a 18 a 0 解得 18 a 14 故a的取值范围是 18 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 某客运公司用a b两种型号的车辆承担甲 乙两地间的长途客运业务 每车每天往返一次 a b两种车辆的载客量分别为36人和60人 从甲地去乙地的营运成本分别为1600元 辆和2400元 辆 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队 并要求b型车不多于a型车7辆 若每天运送人数不少于900 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小 那么应配备a型车 b型车各多少辆 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15