4-2不定积分的基本公式和运算法则直接积分法.doc

复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法一 基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：导数公式微分公式积分公式1 (0)2345 ()6789101112131415以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1.求下列不定积分.（1） （2） 解：（1）（2）此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二 不定积分的基本运算法则法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 法则1对于有限多个函数的和也成立的法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 （）例2 求解 =2+-=。注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于=，所以结果是正确的。三 直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例3 求下列不定积分.（1） （2）解：（1）首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分得 。注：（1）求函数的不定积分时积分常数不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数即可。（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。（2）。上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。练习 1 ，2 ，3 。答案 1 ， 2 ，3 例4 求下列不定积分.（1） （2） 解：（1）（2）上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。练习 1 2 3 答案 1 2 3 例5 设，求.解：由于，所以，故知是的原函数，因此小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习 求下列不定积分.（1）（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9），（10），（11）。答案1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 ， 6 ，7 ， 8 ，9 ， 10 ，11。小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形