高中数学 第一部分 第一章§4 第一课时 空间图形基本关系的认识与公理配套课件 北师大版必修2.ppt

第一章立体几何初步 4空间图形的基本关系与公理 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三 第一课时空间图形基本关系的认识与公理1 3 知识点三 空间几何体各式各样 千姿百态 如何认识和把握它们呢 一般的方法是 从构成几何体的基本元素 点 直线和平面入手 研究它们的性质以及相互之间的位置关系 由整体到局部 由局部再到整体 逐步认识空间几何体的性质 长方体是我们非常熟悉的几何体 观察长方体的8个顶点 12条棱和6个面的关系 问题1 长方体的一个顶点与12条棱和6个面有几种位置关系 提示 顶点与棱所在直线的关系是在棱上 不在棱上 顶点和六个面的关系是在面内 在面外 问题2 12条棱中 棱与棱有几种位置关系 提示 相交 平行 既不平行也不相交 问题3 棱所在直线与面之间有几种位置关系 提示 棱在平面内 棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交 问题4 六个面之间有哪几种位置关系呢 提示 平行和相交 直线上 直线外 平面内 平面外 2 空间两条直线的位置关系 只有一个 没有 任何 3 直线与平面的位置关系 无数个 只有一个 没有 4 平面与平面的位置关系 没有公共点 不重合 有公共点 在生产 生活中 人们经过长期观察与实践 得到一些不需证明同时也无法证明的客观规律我们称之为公理 问题1 一把直尺两端放在桌面上 直尺在桌面上吗 提示 直尺在平面上 问题2 教室的墙面与地面有公共点 这些公共点有什么规律 提示 这些公共点在同一直线上 问题3 照相机支架只有三个脚支撑 为什么 提示 不在同一直线上的三点确定一个平面 空间图形的公理 两点 所有的点 在平面内 不在同一直线 有且只有 有一个公共点 有且只有 问题1 把一张长方形的纸对折两次 打开以后 这些折痕之间有什么关系呢 提示 平行 问题2 在空间中有两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行吗 提示 平行 问题3 在平面上 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 那么在空间中 结论是否仍然成立呢 提示 在空间中 该结论仍成立 1 公理4 平行 a c 2 等角定理空间中 如果两个角的两条边分别 那么这两个角 对应平行 相等或互补 1 在空间中 点看作元素 直线和平面看作点的集合 点与直线 平面 直线与直线 线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系 2 公理1 2 3 4是在生活实际中 人们对经验和客观实际的总结 公理1的主要作用是判断直线是否在平面内 公理2的主要作用是论证共面问题 公理3是判断两平面是否相交的重要依据 公理4是论证两直线平行的重要依据 例1 如果a b l a a l b b l 那么 与 的位置关系是 思路点拨 把简单语言翻译成图形语言 作出判断 精解详析 如图 l上有两点a b在 内 根据公理1 l 又l 则 l 一点通 1 判断空间直线 平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图 充分发挥空间想象能力 再对位置关系做出判断 2 对于异面直线 它们 不同在任何一个平面内 也指永远不具备确定平面的条件 分别位于两个平面内的直线 不一定是异面直线 它们可能平行 也可能相交 1 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1和bc的中点分别是e f 各棱所在的直线中与直线ef异面的条数是 a 4b 6c 8d 10 解析 法一 与ef异面的直线 有ad a1d1 aa1 dd1 ab cd a1b1 d1c1 共8条 法二 正方体的12条棱中有4条bb1 bc cc1 b1c1与ef共面 其余8条都与ef异面 答案 c 2 如图所示的长方体中 试指出 1 与平面abcd平行的平面 2 与ad平行的平面 3 与ad相交的平面 4 与ad异面的直线 答案 1 平面a1b1c1d1 2 平面bcc1b1与平面a1b1c1d1 3 平面abb1a1与平面dcc1d1 4 bb1 cc1 a1b1 c1d1 例2 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 思路点拨 先选取两条直线确定一个平面 然后证明其他直线都在这个平面内 精解详析 已知 如图所示 l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 求证 直线l1 l2 l3在同一平面内 证明 法一 l1 l2 a l1和l2确定一个平面 l2 l3 b b l2 又 l2 b 同理可证c 又 b l3 c l3 l3 直线l1 l2 l3在同一平面内 法二 l1 l2 a l1 l2确定一个平面 l2 l3 b l2 l3确定一个平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可证b b c c 不共线的三个点a b c既在平面 内 又在平面 内 平面 和 重合 即直线l1 l2 l3在同一平面内 一点通 证明点 线共面问题的常用方法 1 由其中某些点 线确定一个平面 再证明其余的点 线都在这个平面内 2 证明某些点 线在 内 其余点 线在 内 再证明这两个平面重合 3 若点m在直线a上 a在平面 内 则m 间的关系为 解析 m a a m 答案 m 4 下列表述中正确的是 a 空间三点可以确定一个平面b 三角形一定是平面图形c 若a b c d既在平面 内 又在平面 内 则平面 和平面 重合d 四条边都相等的四边形是平面图形解析 a c d不正确 b正确 答案 b 5 求证 如果一条直线和两条平行直线相交 那么这三条直线共面 已知 a c a b c b a b 求证 直线a b c共面 证明 如图所示 a b 直线a b确定一平面 a c a a a 同理可证b 又 a c b c c 直线a b c共面 例3 已知 abc在平面 外 它的三边所在的直线分别交平面 于p q r 如图 求证 p q r三点共线 思路点拨 解答本题可以先选两点确定一条直线 再证明第三点也在这条直线上 精解详析 证明 法一 ab p p ab p 平面 又ab 平面abc p 平面abc 由公理3可知 点p在平面abc与平面 的交线上 同理可证q r也在平面abc与平面 的交线上 p q r三点共线 法二 ap ar a 直线ap与直线ar确定平面apr 又 ab p ac r 平面apr 平面 pr b 平面apr c 平面apr bc 平面apr 又 q 直线bc q 平面apr 又q q pr p q r三点共线 一点通 1 证明三线共点问题的方法主要是 先确定两条直线交于一点 再证明该点是这两条直线所在平面的公共点 第三条直线是这两个平面的交线 2 证明多点共线主要采用如下两种方法 一是首先确定两个平面 然后证明这些点是这两个平面的公共点 再根据公理3 这些点都在这两个平面的交线上 二是选择其中两点确定一条直线 然后再证明其他的点都在这条直线上 6 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 记b1d与平面a1bcd1交于点q 则b q d1三点必共线 为什么 解 如图 连接b1d1 bd b1d1 bd b1d1 bd确定平面b1bdd1 交平面a1bcd1于bd1 q b1d q 平面b1bdd1 又 q 平面a1bcd1 而平面a1bcd1 平面b1bdd1 bd1 点q必在bd1上 b q d1三点必共线 7 如图 已知空间四边形abcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且bg gc dh hc 2 1 求证 直线eg fh ac交于同一点p 四边形efhg是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰eg fh所在直线相交于一点p eg 平面abc fh 平面acd p 平面ab