高考数学大一轮复习 专题3 导数及其应用课件 文.pptVIP

专题3导数及其应用 目录 600分基础考点 考法考点19导数的概念及其运算考点20导数与函数的单调性考点21利用导数求函数的极值 最值700分综合考点 考法综合问题5导数几何意义在综合题中的应用综合问题6导数的实际应用及综合运用 考点19导数的概念及其运算 1 导数的几何意义 函数y f x 在x x0处的导数就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 即k f x0 函数在定义域上某一处 x x0 的导数存在 则对应的曲线在点 x0 y0 处必有切线 函数在定义域上某一处 x x0 导数不存在 则对应的曲线在点 x0 y0 处未必没有切线 因此 函数在定义域上某一处 x x0 导数存在 是对应曲线在点 x0 y0 处有切线的充分条件 注意 2 几种常见函数的导数 考点19导数的概念及其运算 利用运算法则求导时 要特别注意除法公式中分子的符号 防止与乘法公式混淆 4 复合函数的导数 注意 3 导数运算法则 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为y x y u u x 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 注意 1 利用复合函数求导法则求导后 要把中间变量换成自变量的函数 2 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导 不能混淆 常出现如下错误 cos2x sin2x 实际上应是 cos2x sin2x 2x 2sin2x 考点19导数的概念及其运算 考法1导数的运算 考法2用导数几何意义解决曲线的切线问题 导数的概念及其运算 考点19 考点19导数的概念及其运算 类型1已知函数的解析式 求导函数或导函数值 考法1导数的运算 类型2对抽象函数求导 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法1 类型1已知函数的解析式 求导函数或导函数值 1 求函数的导数的具体方法是 将函数划分为基本初等函数的和 差 积 商 再求导 遇到连乘积的形式 先展开化为多项式形式 再求导 遇到不符合求导法则的函数形式 应利用代数 三角恒等变换等手段对函数变形 再求导 遇到根式形式 先化为分数指数幂 再求导 遇到复杂分式 先将分式化简 再求导 2 复合函数的求导 要选择恰当的中间变量 分清复合关系 切记复合函数的求导法则并按 由内向外 的原则处理 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法1 类型1已知函数的解析式 求导函数或导函数值 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法1 类型2对抽象函数求导 近几年高考的求导问题中 常涉及一类解析式中含有导数值的函数 即解析式类似为f x f x0 g x h x x0为常数 的函数 解决这类问题的关键是明确f x0 是常数 其导数值为0 因此先求导数f x 令x x0 即可得到f x0 的值 进而得到函数f x 的解析式 求得所求的导数值 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法1 类型2对抽象函数求导 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法1 导数的运算 例1 天津2016 10 5分 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 解析 因为f x 2x 3 ex 所以f 0 3 答案 3 例2 天津2015 11 5分 已知函数f x axlnx x 0 其中a为实数 f x 为f x 的导函数 若f 1 3 则a的值为 解析 f x alnx a f 1 a 3 答案 3 考点19导数的概念及其运算 类型1已知切点求斜率或倾斜角 已知切线的斜率求切点 考法2用导数几何意义解决曲线的切线问题 类型2曲线y f x 的切线问题 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法2 类型1已知切点求斜率或倾斜角 已知切线的斜率求切点 解决这类问题的方法都是根据曲线y f x 在点 x0 y0 处切线的斜率k f x0 直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解 解决这类问题的关键是抓住切点 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法2 类型2曲线y f x 的切线问题 题型1求曲线在某点处的切线方程 求曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线方程 则点p x0 y0 是切点且在曲线y f x 上 切线的斜率为k f x0 有唯一的切线 对应的切线方程为y y0 f x0 x x0 题型2求曲线过某点的切线方程 求曲线y f x 过某点p x y 的切线方程 切线经过点p 但曲线不一定经过点p 所以点p可能是切点 也可能不是切点 这样的直线可能有多条 第一步 设出切点坐标p x1 f x1 第二步 写出曲线在点p x1 f x1 处的切线方程y f x1 f x1 x x1 第三步 将点p的坐标 x0 y0 代入切线方程 求出x1 第四步 将x1的值代入方程y f x1 f x1 x x1 可得过点p x0 y0 的切线方程 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法2 类型2曲线y f x 的切线问题 考法例2 课标全国 2015 14 5分 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 又 f 1 a 2 由导数的几何意义 得切线方程为y a 2 3a 1 x 1 将 2 7 代入切线方程 解得a 1 答案 1 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法2 用导数几何意义解决曲线的切线问题 例3 课标全国 2016 16 5分 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x e x 1 x 则曲线y f x 在点 1 2 处的切线方程是 解析 设x 0 则 x0时 f x ex 1 1 所以f 1 2 则y f x 在点 1 2 处的切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 答案 y 2x 考点19导数的概念及其运算 考点19 考法2 用导数几何意义解决曲线的切线问题 例4 课标全国 2015 16 5分 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 答案 8 考点19导数的概念及其运算 考点20导数与函数的单调性 考点20导数与函数的单调性 1 函数的单调性与导数的关系 已知函数f x 在定义域上某个区间内可导 1 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 该区间是函数f x 的单调增区间 2 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 该区间是函数f x 的单调减区间 3 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内是常数函数 2 由导数与函数的单调性的关系可得结论 1 函数f x 在定义域的区间 a b 内可导 且f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于零 当x a b 时 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递增 f x 0 函数f x 在 a b 上单调递减 2 f x 0 0 在 a b 上成立是f x 在 a b 上单调递增 减 的充分条件 注意 1 定义域优先 对于含参数的单调性问题要注意分类讨论 2 在划分函数的单调区间时 除了必须确定使导数等于0的点外 还要注意定义区间内的不连续点或不可导点 3 求得的导函数的零点要判断是否在定义域中 考点20导数与函数的单调性 考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间 考法4已知单调性求解参数范围 导数与函数的单调性 考点20 考点20导数与函数的单调性 类型1确定函数的单调性 考法3利用导数讨论函数的单调性或求单调区间 类型2求函数的单调区间 类型3函数的单调性与导函数图象间的关系 考点20导数与函数的单调性 方法一 说明在对应区间上导数的取值范围满足有关定理 方法二 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 并求f x 0的根 考点20 考法3 类型1确定函数的单调性 考点20导数与函数的单调性 3 将函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 和各实数根按从小到大的顺序排列 分成若干个小区间 确定f x 在各个小区间的符号 从而确定单调性 也可以结合 2 中的根讨论f x 的正负 其中f x 0对应的x所在区间 函数f x 在这些区间上是增函数 f x 0对应的x所在区间 函数f x 在这些区间上是减函数 考点20 考法3 类型2求函数的单调区间 考点20导数与函数的单调性 求函数y f x 的单调区间步骤如下 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 并求f x 0的根 3 解f x 0得到x所在区间 即为函数f x 的递增区间 解f x 0得到x所在区间 即为函数f x 的递减区间 注意 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 考点20 考法3 类型3函数的单调性与导函数图象间的关系 理解导函数y f x 的图象与函数y f x 图象的升降关系 导函数大于0对应原函数图象由左至右上升 导函数小于0对应原函数图象由左至右下降 在解题时要注意原函数的定义域 如判断定义域是否具有对称性等 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法3 利用导数讨论函数的单调性或求单调区间 例5 安徽2015 10 5分 函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图所示 则下列结论成立的是 a a 0 b0 d 0b b a 0 b0c a0 d 0d a 0 b 0 c 0 d 0 答案 a 点拨 关键是对比原函数图象确定导函数的图象 理解导数和原函数的关系 即导数看正负 函数看增减 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法3 利用导数讨论函数的单调性或求单调区间 考点20导数与函数的单调性 类型1若函数f x 在区间d上单调递增 减 求参数m的取值范围 考法4已知单调性求解参数范围 类型2已知可导函数f x 在区间 a b 内存在单调区间 求解参数m的取值范围 类型3已知f x 在区间i上单调递增 或减 区间i含有参数 求参数的取值范围 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法4 类型1若函数f x 在区间d上单调递增 减 求参数m的取值范围 1 转化为f x 0 或f x 0 在区间d上恒成立问题 2 方法一 讨论最值法 再转化为f x min 0 或f x max 0 从而构建出关于参数m的不等式 要注意 是否可以取到 方法二 分离参数法 若参数能够分离出来 则m g x 恒成立 可转化为m g x max m g x 恒成立 可转化为m g x min 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法4 类型2已知可导函数f x 在区间 a b 内存在单调区间 求解参数m的取值范围 1 转化为f x 0 或f x 0 在区间 a b 内有解的问题 2 方法一 讨论最值法 再转化为在区间 a b 内f x max 0 或f x min 0 从而列出关于参数m的不等式 方法二 分离参数法 若参数能够分离出来 则m g x 在区间 a b 内有解 可转化为m g x min m g x 在区间 a b 内有解 可转化为m g x max 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法4 类型2已知可导函数f x 在区间 a b 内存在单调区间 求解参数m的取值范围 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法4 类型3已知f x 在区间i上单调递增 或减 区间i含有参数 求参数的取值范围 1 求出f x 的单调区间 2 令i是其单调区间的子集 列不等式 组 求出参数的取值范围 注意 应用结论 函数f x 在 a b 上单调递增 f x 0恒成立 若函数f x 在 a b 上单调递减 f x 0恒成立 时 切记检验等号成立时导数是否在某区间上恒为0 考点20导数与函数的单调性 考点20 考法4 已知单调性求解参数范围 考点20导数与函数的单调性 考点21利用导数求函数的极值与最值 1 函数的极值与导数 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续且f x0 0 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 考点21利用导数求函数的极值 最值 2 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续且在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注意 极值与最值的区别 1 函数的最值是定义域内的函数值的最大或最小者 函数的极值是极值点附近的函数值的最大或最小者 2 函数在其定义域内的最大值 最小值最多各有一个 最大值一定不小于最小值 而函数的极值可能没有 可能一个 也可能多个 并且极大值不一定比极小值大 3 最值应在极值点或区间端点处取得 4 在开区间内只有一个极值时 该极值必是最值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考法5利用导数求函数的极值 考法6利用导数求函数的最值 利用导数求函数的极值 最值 考点21 考点21利用导数求函数的极值 最值 考法7已知函数值 最值求参数的值 或取值范围 求可导函数f x 的极值的步骤 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 如果解析式中有参数呢 1 确定函数f x 的定义域 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用上述方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小区间 并列成表格 明确f x 在方程的根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 考点21利用导数求函数的极值 最值 求可导函数f x 的极值的步骤 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 注意 1 首先考虑定义域 2 导数值为0的点不一定是函数的极值点 它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 3 对于解析式中含有参数的函数求极值问题 一般要对方程f x 0的根的情况进行讨论 分两个层次讨论 第一层 讨论方程在定义域内是否有根 第二层 在有根的条件下 再讨论根的大小 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 点拨 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 点拨 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 例8 四川2016 6 5分 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 解析 f x 3 x2 4 令f x 0 得x 2或x 2 令f x 0 得 2 x 2 f x 在 2 上单调递增 在 2 2 上单调递减 在 2 上单调递增 x 2是f x 的极小值点 a 2 答案 d 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法5 利用导数求函数的极值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法6 利用导数求函数的最值 利用导数知识求可导函数f x 在闭区间 a b 上的最值步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将极大值与f a f b 比较 其中的较大者即为最大值 将极小值与f a f b 比较 其中的较小者即为最小值 注意 1 对含参数的函数解析式在求最值时 常常分类讨论 分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部 从而根据单调性求出最值 2 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间 或开区间 上的最值时 方法是不同的 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借助图象观察得到函数的最值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法6 利用导数求函数的最值 考法例 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法6 利用导数求函数的最值 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法7 已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 已知函数极值求参数的值 或取值范围 时 通常是利用函数的导数在极值点处的函数值等于0建立关于参数的方程 也可以求出函数的极值 含参数 利用极值列方程 或根据极值的情况 列出关于参数的不等式 或组 求解 已知函数最值求参数的值 或取值范围 通常是求出函数最值 含参数 然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不等式 或组 求解 考法例 山东淄博2016模拟 已知f x ax2 a 2 x lnx 1 当a 1时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 当a 0时 若f x 在区间 1 e 上最小值为 2 求实数a的取值范围 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法7 已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 点拨 1 求解函数y f x 的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 考点21利用导数求函数的极值 最值 山东淄博2016模拟 已知f x ax2 a 2 x lnx 1 当a 1时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 当a 0时 若f x 在区间 1 e 上最小值为 2 求实数a的取值范围 考点21 考法7 已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 点拨 2 已知函数的最值求参数值 一般先用参数表示最值 列方程求解参数值 考点21利用导数求函数的极值 最值 山东淄博2016模拟 已知f x ax2 a 2 x lnx 1 当a 1时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 当a 0时 若f x 在区间 1 e 上最小值为 2 求实数a的取值范围 考点21 考法7 已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 例11 山东2016 20 13分 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法7 考法7已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 例11 山东2016 20 13分 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 考点21利用导数求函数的极值 最值 考点21 考法7 已知函数极值 最值求参数的值 或取值范围 例11 山东2016 20 13分 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 考点21利用导数求函数的极值 最值 综合问题5导数几何意义在综合题中的应用 综合点1导数几何意义在综合题中的应用 对导数几何意义的考查主要有三种方式 综合问题5导数几何意义在综合题中的应用 1 利用导数的几何意义求参数值或范围 此类题目主要是利用k f x0 tan 这个等式 建立参数k x0 之间的关系 已知其中的一个量求出另外两个量的值或者范围 特别要注意倾斜角 的取值范围是 0 2 利用导数的几何意义求切线方程或者公切线方程 这里求切线方程还是要注意 是求 在 曲线y f x 上一点p x0 y0 处的切线方程 还是求 过 曲线y f x 外一点p x0 y0 的切线方程 具体求法见考点19 3 证明与切线有关的问题 此类型题目实际上还是求切线方程 切线方程求出之后再证明切线的条数 或者切线的其他特征 综合点1导数几何意义在综合题中的应用 考法例 北京2014 20 节选 已知函数f x 2x3 3x 1 若过点p 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 求t的取值范围 2 问过点a 1 2 b 2 10 c 0 2 分别存在几条直线与曲线y f x 相切 只需写出结论 1 解 设过点p 1 t 的直线与曲线y f x 相切于点 x0 y0 则y0 2x03 3x0 且切线斜率为k 6x02 3 所以切线方程为y y0 6x02 3 x x0 因此t y0 6x02 3 1 x0 整理得4x03 6x02 t 3 0 设g x 4x3 6x2 t 3 则 过点p 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 等价于 g x 有3个不同的零点 综合问题5导数几何意义在综合题中的应用 综合点1导数几何意义在综合题中的应用 考法例 g x 12x2 12x 12x x 1 讨论可知 g 0 t 3是g x 的极大值 g 1 t 1是g x 的极小值 当g 0 t 3 0 即t 3时 g x 在区间 1 和 1 上分别至多有1个零点 所以g x 至多有2个零点 当g 1 t 1 0 即t 1时 g x 在区间 0 和 0 上分别至多有1个零点 所以g x 至多有2个零点 当g 0 0且g 1 0 g x 在区间 0 0 1 1 上单调 所以g x 有3个零点 综上可知 当过点p 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切时 t的取值范围是 3 1 综合问题5导数几何意义在综合题中的应用 北京2014 20 节选 已知函数f x 2x3 3x 1 若过点p 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 求t的取值范围 2 问过点a 1 2 b 2 10 c 0 2 分别存在几条直线与曲线y f x 相切 只需写出结论 综合点1导数几何意义在综合题中的应用 考法例 2 解 过点a 1 2 存在3条直线与曲线y f x 相切 过点b 2 10 存在2条直线与曲线y f x 相切 过点c 0 2 存在1条直线与曲线y f x 相切 北京2014 20 节选 已知函数f x 2x3 3x 1 若过点p 1 t 存在3条直线与曲线y f x 相切 求t的取值范围 2 问过点a 1 2 b 2 10 c 0 2 分别存在几条直线与曲线y f x 相切 只需写出结论 综合问题5导数几何意义在综合题中的应用 综合点2导数与方程 不等式的综合 综合点3利用导数解决生活中的优化问题 导数的实际应用以及综合应用 综合问题6 综合问题6导数的实际应用以及综合应用 综合点2导数与方程 不等式的综合 综合问题6导数的实际应用以及综合应用 1 不等式问题 1 证明不等式的步骤 依据待证不等式的特征 变量的取值范围及不等式的性质 将待证不等式化简 依据不等式构造函数 利用导数研究函数的单调性 求其最值 依据单调性及最值 得到待证不等式 综合点2导数与方程 不等式的综合 综合问题6导数的实际应用以及综合应用 1 不等式问题 2 不等式恒成立与存在性问题 可以将问题转化为函数的极值或最值问题 也可以考虑将参数分离出来 将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题 求解时 第一步 将不等式转化为对应函数的最值问题或将参数分离出来转化为不含参数的函数最值问题 第二步 求导确定函数的极值 第三步 根据题意确定范围 综合点2导数与方程 不等式的综合 综合问题6导数的实际应用以及综合应用 1 不等式问题 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x d恒成立 应求f x 的最小值 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 在具体问题中究竟是求最大值还是最小值 可以先联想 恒成立 是求最大值还是最小值 这样可以解决相应的 存在性 问题是求最大值还是最小值 特别需要注意等号是否成立问题 以免细节出错 综合点2导数与方程 不等式的综合 2 利用导数研究方程解或函数图象交点问题 1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式方程的解或函数图象交点的个数问题的一般思路 将问题转化为函数的零点问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点问题 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 结合图象求解 2 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步 利用导数证明该函数在该区间上单调 第二步 证明端点值异号 综合问题6导数的实际应用以及综合应用 综合点2导数与