帮你归纳总结(五)导数中常见的分类讨论

帮你归纳总结帮你归纳总结 五 导数中的分类讨论问题五 导数中的分类讨论问题 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异 分各种不同的情况予以分析解决 分类 讨论题覆盖知识点较多 利于考查学生的知识面 分类思想和技巧 同时方式多样 具有 较高的逻辑性及很强的综合性 树立分类讨论思想 应注重理解和掌握分类的原则 方法 与技巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层别类不重复 不遗漏的分析讨论 一 参数引起的分类讨论一 参数引起的分类讨论 例 已知函数 当时 讨论函数的单调性 1 1 ln 2 xpxpxf0 p xf 解 f x的定义域为 0 x pxp xp x p xf 2 12 12 当1 p时 fx 0 故 f x在 0 单调递增 当 0 p 1 时 令 fx 0 解得 12 p p x 则当 12 0 p p x时 fx 0 12 p p x时 fx 0 故 f x在 12 0 p p 单调递增 在 12 p p 单调递减 例 已知函数 ln 1 1 1f xxk x 求函数 f x的单调区间 解 1 1 1 1 fxkx x 所以 0k 在时 0 fx 0k 在时 由 0fx 得 1 1 x k 所以 0k 在时 1 f x 在上为增函数 0k 在时 1 1 1f x k 在上为增函数 在 1 1 k 上为减函数 二 判别式引起的分类讨论二 判别式引起的分类讨论 例 已知函数 2 lnf xxxax aR 讨论 f x在定义域上的单调性 解 由已知得 2 2 21 0 axxa fxxx xx 1 当 时 恒成立 在上为增函1 80a 1 8 a 0fx f x 0 数 2 当 时 1 80a 1 8 a 1 时 在 1 0 8 a 11 811 8 0 22 aa f x 11 811 8 22 aa 上为减函数 在上为增函数 f x 11 811 8 0 22 aa 2 当时 11 8 0 2 a 故在上为减函数 0a f x 11 8 0 2 a 在 11 8 2 a 上为增函数 f x 综上 当时 在上为增函数 1 8 a f x 0 当 时 在上为减函数 1 0 8 a f x 11 811 8 22 aa 在上为增函数 f x 11 811 8 0 22 aa 当a 0 时 在 0 11 8 2 a 上为减函数 在 f x f x 11 8 2 a 上为增函数 3 二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例 已知函数 令 若 32 2 23 3 f xxaxx ln 1 3 g xxfx 在 上单调递增 求实数的取值范围 g x 1 2 a 解 由已知得 22 ln 1 3 243 ln 1 24g xxxaxxxax 2 144 1 1 4 44 11 xa xa g xxa xx 又当时 恒有 1 2 x 10 x 设 2 44 1 1 4h xxa xa 其对称轴为 441 82 aa x i 当 11 22 a 即0a 时 应有 2 16 1 16 1 4 0aa 解得 20a 所以0a 时成立 ii 当 11 22 a 即0a 时 应有 1 0 2 h 即 1 14 1 140 2 aa 解得0a 综上 实数a的取值范围是0a 4 4 二项系数引起的分类讨论二项系数引起的分类讨论 4 已知函数 2 1 ln1f xaxax 1 讨论函数的单调性 f x 2 设a 2 求证 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 2ax a 1 x 2ax2 a 1 x 当a 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 1 时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 当 1 a 0 时 令f x 0 解得x a 1 2a 则当时 f x 0 当时 1 0 2 a x a 1 2 a x a 0fx 故在上单调递增 在上单调递减 f x 1 0 2 a a 1 2 a a 2 不妨设x1 x2 由于a 2 故f x 在 0 上单调减少 所以 f x1 f x2 4 x1 x2 等价于 f x2 f x1 4x1 4x2 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 则 g x 2ax 4 a 1 x 2ax2 4x a 1 x 于是g x 0 4x2 4x 1 x 2x 1 2 x 从而g x 在 0 上单调减少 故 g x1 g x2 即f x1 4x1 f x2 4x2 故对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 三 针对性练习三 针对性练习 1 已知函数 0 3ln aRaaxxaxf且 求函数 xf的单调区间 当2 a时 设函数3 2 2 x ep xpxh 若在区间 1 e上至少存在一个 0 x 使得 00 xfxh 成立 试求实数p的取值范围 解 由 x xa xf 1 知 当0 a时 函数 xf的单调增区间是 1 0 单调减区间是 1 当0 a时 函数 xf的单调增区间是 1 单调减区间是 1 0 3 2ln2 2 xxxfa 令 xfxhxF 则x x e x p pxxx x ep xpxFln2 2 32ln23 2 2 1 当0 p时 由 1 ex 得0ln2 2 0 x x e x p px 从而0 xF 所以 在 1 e上不存在 0 x使得 00 xfxh 2 当0 p时 022 1 22 2 2 xeex x epxpx xF 0 0 2 xFppx在 1 e上恒成立 故 xF在 1 e上单调递增 4 max e p peeFxF 故只要04 e p pe 解得 1 4 2 e e p 综上所述 p 的取值范围是 1 4 2 e e 2 已知函数 求函数的单调区间 1ln 2 Raxaaxxxf xf 解 1 2 2 2 1 2 x a xx x a axxf 若时 则 0 在 1 恒成立 0 a 1 2 2 2 1 2 2 x a xx x