陕西省高中数学 第一章 推理与证明 反证法课件 北师大版选修22.ppt

反证法 一 命题的有关概念 1 命题 可以判断真假的语句 2 逻辑联结词 或 且 非 3 简单命题 不含逻辑联结词的命题 4 复合命题 含有逻辑联结词的命题 一 命题的有关概念 非p 形式的复合命题与p的真假相反 5 复合命题真值表 p或q 形式的复合命题当p与q同时为假时为假 其它情形为真 p且q 形式的复合命题当p与q同时为真时为真 其它情形为假 二 命题的四种形式 逆否命题 若 q 则 p 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 p 则 q 注 互为逆否命题的两个命题同真假 三 反证法 1 一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 结论 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 2 命题特点 结论本身以否定形式出现 结论是 至少 至多 唯一 都是 等形式 结论涉及 存在或不存在 有限或无限 等形式 结论的反面比原结论更具体或更易于证明 3 特殊结论的反设 4 引出矛盾的形式 由假设结论q不成立 得到条件p不成立 由假设结论q不成立 得到结论q成立 由假设结论q不成立 得到一个恒假命题 分别由假设与条件推得的两个结论矛盾 典型例题 用反证法证明下列各题 1 某班有49位学生 证明 至少有5位学生的生日同月 2 若p1p2 2 q1 q2 证明关于x的方程x2 p1x q1 0与x2 p2x q2 0中 至少有一个方程有实根 证 假设至多有4位学生的生日同月 即 生日在1 2 12月的学生人数都不超过4人 则该班学生总数m 4 12 48人 与该班有49位学生的条件矛盾 假设不成立 至少有5位学生的生日同月 1 某班有49位学生 证明 至少有5位学生的生日同月 证 假设这两个方程都没有实根 则 1 0且 2 0 从而有 1 2 0 又 1 2 p12 4q1 p22 4q2 p12 p22 4 q1 q2 p12 p22 2p1p2 p1 p2 2 0 与 1 2 0矛盾 即 1 2 0 假设不成立 故这两个方程至少有一个有实根 2 若p1p2 2 q1 q2 证明关于x的方程x2 p1x q1 0与x2 p2x q2 0中 至少有一个方程有实根 与 式相加得 4 a 2 与 式相加得 6 a 4 显然 与 矛盾 假设不成立 a b c三数均小于1 证 假设a b c中至多有一个数不小于1 这包含两种情况 即0 a 1 0 b 1 0 c 1 则 与已知条件矛盾 也与已知条件矛盾 a b c中恰有两数小于1 不妨设0 a 1 0 b 1 而c 1 假设不成立 a b c中至少有两个不小于1 课堂练习 3 方程x2 mx 4 0在 1 1 上有解 求实数m的取值范围 1 证 设三个方程的判别式分别为 1 2 3 由 1 2 3 b2 ac c2 ba a2 cb 即 1 2 3 0 故所述三个方程中至少有一个方程有实数根 1 2 3中至少有一个非负 即 1 a b 2b 1 a b 2 又 1 a b 2b 1 a b 1 a b 2b 1 a b 2 即 1 a b 2b 1 a b 2 与 式矛盾 假设不成立 3 方程x2 mx 4 0在 1 1 上有解 求实数m的取值范围 解 先考虑x2 mx 4 0在 1 1 上无解时m的取值范围 包含两种情况 方程x2 mx 4 0无实数解 方程有实数解 但解不在