高考数学一轮复习 3.8 应用举例课件 文 新人教A版.ppt

第八节应用举例 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 三角形中常用的面积公式 s ah h表示边a上的高 s bcsina 2 实际应用中的常用术语 2 必备结论教材提炼记一记三角形的面积公式 s r a b c r为三角形的内切圆半径 r为三角形外接圆半径 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用正弦定理求边和角的方法 利用余弦定理求边和角的方法 2 数学思想 数形结合 转化化归 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 公式s bcsina acsinb absinc适用于任意三角形 2 东北方向就是北偏东45 的方向 3 俯角是铅垂线与视线所成的角 4 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 解析 1 正确 三角形的面积公式对任意三角形都成立 2 正确 数学中的东北方向就是北偏东45 或东偏北45 的方向 3 错误 俯角是视线与水平线所构成的角 4 正确 方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 故大小的范围为 0 2 而方向角大小的范围由定义可知为答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5p11例1改编 如图 设a b两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在a的同侧 在所在的河岸边选定一点c 测出ac的距离是m米 bac acb 则a b两点间的距离为 解析 选c 在 abc中 abc ac m 由正弦定理 得所以ab 2 必修5p20t1改编 已知 abc的角a b c的对边分别为a b c 则 abc的面积公式可表示为 a s absinab s bccosac s d s 解析 选d 因为s absinc bcsina acsinb 所以a和b都不正确 因为所以故选d 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 福建高考 在 abc中 a 60 ac 4 bc 2 则 abc的面积等于 解析 由题知 bc2 ab2 ac2 2ab ac cosa 即12 ab2 16 2 4 ab 解得ab 2 所以s ab ac sina 2 答案 2 2 2015 重庆模拟 甲船在a处观察乙船 乙船在它的北偏东60 的方向 两船相距a海里的b处 乙船正向北行驶 若甲船是乙船速度的倍 甲船为了尽快追上乙船 则应取北偏东 填角度 的方向前进 解析 设两船在c处相遇 则由题意 abc 180 60 120 且由正弦定理得又0 bac 60 所以 bac 30 答案 30 考点1测量距离问题 典例1 1 2014 四川高考 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度bc等于 本例源自教材必修5p24t5 a 240 1 mb 180 1 mc 120 1 md 30 1 m 2 如图 为了测量河对岸a b两点间的距离 在河的这一岸选取基线cd 测得cd km adb cdb 30 acd 60 acb 45 求ab的长 解题提示 1 先解直角三角形求ac的长 再解斜三角形求河宽bc 2 解三角形时至少知道一边 所以先选择cd边所在的三角形adc 三角形bcd 再选择ab边所在的三角形 分别解三角形求解 规范解答 1 选c 设气球的高度为ad 交cb延长线于点d 在rt acd中 ac 120m 在 abc中 由正弦定理知 2 在 adc中 adc adb cdb 60 acd 60 所以 adc是等边三角形 故ac cd 在 bcd中 bdc 30 bcd bca acd 45 60 105 所以 dbc 180 bdc bcd 45 因为cd 所以由正弦定理 得即 在 acb中 ac bc acb 45 所以由余弦定理 得ab2 ac2 bc2 2ac bccos acb故ab的长为km 一题多解 解答本例 2 你还知道其他方法吗 解答本例 2 还可以如下求解 在 adc中 adc adb cdb 60 acd 60 所以 adc是等边三角形 故ac cd 因为 adb cdb 30 所以db是 adc的平分线 故db是ac的垂直平分线 所以ba bc 故 bac bca 45 所以 abc 180 bac bca 90 所以ab2 bc2 ac2 即2ab2 3 解得ab 故ab的长为km 规律方法 1 距离问题的类型及解法 1 类型 测量距离问题分为三种类型 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 2 解法 选择合适的辅助测量点 构造三角形 将问题转化为求某个三角形的边长问题 从而利用正余弦定理求解 2 解三角形应用题的两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解能求解的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 提醒 注意三角形可解的条件 即三角形中必须知道三个元素且三个元素中至少有一条边 变式训练 2015 汉中模拟 某人在m汽车站的北偏西20 的方向上的a处 观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶 公路的走向是m站的北偏东40 开始时 汽车到a的距离为31千米 汽车前进20千米后 到a的距离缩短了10千米 求此时汽车离汽车站的距离 解析 由题设 画出示意图 设汽车前进20千米后到达b处 在 abc中 ac 31 bc 20 ab 21 由余弦定理 得cosc 则sin2c 1 cos2c 所以sin mac sin 120 c sin120 cosc cos120 sinc 在 mac中 由正弦定理 得从而有mb mc bc 15 千米 故汽车离汽车站的距离是15千米 加固训练 1 某人在高出海面600米的山上p处 测得海面上的航标a在正东 俯角为30 航标b在南偏东60 俯角为45 则这两个航标间的距离为米 解析 如图 设po表示山高 则po 600 由题意知 po oa po ob opa 90 30 60 opb 90 45 45 aob 90 60 30 在rt poa中 oa tan60 600 600 在rt pob中 ob op 600 在 aob中 ab2 oa2 ob2 2oa obcos aob 600 2 6002 2 600 600 cos30 6002 所以ab 600 答案 600 2 如图所示 一艘海轮从a处出发 测得灯塔在海轮的北偏东15 方向 与海轮相距20海里的b处 海轮按北偏西60 的方向航行了30分钟后到达c处 又测得灯塔在海轮的北偏东75 的方向 则海轮的速度为海里 分钟 解析 由已知得 acb 45 b 60 由正弦定理得所以ac 所以海轮航行的速度为 海里 分钟 答案 考点2测量高度 角度问题 典例2 1 2015 济南模拟 在200米高的山顶上 测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30 60 则塔高为 2 在海岸a处 发现北偏东45 方向 距a处 1 nmile的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 的方向 距离a处2nmile的c处的缉私船奉命以10nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从b处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船 解题提示 1 结合题意 画出图形 分别解直角三角形 斜三角形可求 2 结合题意 画出准确的图形是解题的关键 同时注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 设在d处相遇 则可先在 abc中求出bc 再在 bcd中求 bcd 规范解答 1 选c 如图 设ab表示山高 cd表示塔高 则 dbc 60 30 30 abc 90 60 30 连接ac 在rt bac中 cos abc 所以在 bdc中 dbc 30 dcb 90 60 30 所以 bdc 180 dbc dcb 120 由正弦定理得 2 设缉私船用th在d处追上走私船 如图 则有cd 10t bd 10t 在 abc中 因为ab 1 ac 2 bac 120 所以由余弦定理 得bc2 ab2 ac2 2ab accos bac 1 2 22 2 1 2 cos120 6 所以bc 在 abc中 由正弦定理 得所以sin abc 所以 abc 45 所以bc是东西方向 因为 cbd 90 30 120 在 bcd中 由正弦定理 得所以sin bcd 所以 bcd 30 即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船 互动探究 试求本例 2 中缉私船最快追上走私船的时间 解析 由本例 2 的解答知 在 dbc中 cd 10t bd 10t dbc 120 bc bcd 30 所以 bdc 180 bcd dbc 30 故bd bc 即10t t 故缉私船最快追上走私船的时间为小时 规律方法 1 求解高度问题的三个关注点 1 在处理有关高度问题时 要理解仰角 俯角 它是在铅垂面上所成的角 方向 位 角 它是在水平面上所成的角 是关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 注意山或塔垂直于地面或海平面 把空间问题转化为平面问题 2 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上 画出表示实际问题的图形 并在图形中标出有关的角和距离 再用正弦定理或余弦定理解三角形 最后将解得的结果转化为实际问题的解 提醒 方向角是相对于某点而言的 因此在确定方向角时 必须先弄清楚是哪一个点的方向角 变式训练 2015 大连模拟 如图 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个观测点c与d 测得 bcd 15 bdc 135 cd 30m 并在点c处测得塔顶a的仰角为30 则塔高ab为 a 10mb 10mc 15md 10m 解析 选d 在 bcd中 cbd 180 15 135 30 由正弦定理 得所以bc 在rt abc中 ab bc tan acb 30tan30 10 m 加固训练 1 地面上有两座塔ab cd 相距120米 一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍 在两塔底连线的中点o处测得塔顶的仰角互为余角 则两塔的高度分别为 a 50米 100米b 40米 90米c 40米 50米d 30米 40米 解析 选b 设高塔高h 矮塔高h 在矮塔下望高塔仰角为 在o点望高塔仰角为b 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍 所以在高塔下望矮塔仰角为即根据倍角公式有 在塔底连线的中点o测得两塔顶的仰角互为余角 所以在o点望矮塔仰角为即tanb 根据诱导公式有 联立 得h 90 h 40 即两座塔的高度为40米 90米 故选b 2 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东45 方向 相距12nmile的水面上 有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75 方向前进 若侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解析 如图 设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇 则ac 14x bc 10 x abc 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 故ac 28 bc 20 根据正弦定理得解得sin 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时 角 的正弦值为 考点3三角形面积公式的应用知 考情结合正 余弦定理及与平面向量有关的知识求三角形的面积 已知三角形的面积及三角形中的其他元素解三角形是高考的重点 常与三角恒等变换 向量的有关运算相结合 以选择题 填空题 解答题的形式出现 明 角度命题角度1 根据已知条件求三角形的面积 典例3 2015 哈尔滨模拟 在 abc中 b 120 ac 7 ab 5 则 abc的面积为 解题提示 用小写字母表示边 用余弦定理求a 套公式求面积 规范解答 设ab c bc a ac b 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得49 a2 25 2 5a 解得a 3 所以s abc acsinb 3 5 sin120 答案 命题角度2 与三角形面积有关的综合问题 典例4 2014 浙江高考 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知4sin2 4sinasinb 2 1 求角c的大小 2 已知b 4 abc的面积为6 求边长c的值 解题提示 1 利用三角恒等变换化简已知条件求角c 2 利用 1 的结果及面积公式求a及c 规范解答 1 因为所以4sin2 4sinasinb 2 2cos a b 4sinasinb 2 2 cosacosb sinasinb 2 2cos a b 2 2cosc 2 所以cosc 因为c是 abc的内角 所以c 2 由正弦定理知 s abc 所以a 由余弦定理知 c2 a2 b2 2abcosc 所以所以c 所以当b 4 abc的面积为6时 边长c的值为 悟 技法1 求三角形面积的方法 1 若三角形中已知一个角 角的大小 或该角的正 余弦值 结合题意求夹这个角的两边或该两边之积 套公式求解 2 若已知三角形的三边 可先求其一个角的余弦值 再求其正弦值 套公式求面积 总之 结合图形恰当选择面积公式是解题的关键 2 三角形中 已知面积求边 角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角 故根据题目的特点 若求角 就寻求夹这个角的两边的关系 利用面积公式列方程求解 若求边 就寻求与该边 或两边 有关联的角 利用面积公式列方程求解 通 一类1 2013 新课标全国卷 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知b 2 b c 则 abc的面积为 a 2 2b 1c 2 2d 1 解析 选b 因为b c 所以a 由正弦定理得所以三角形的面积为bcsina 2 2014 新课标全国卷 钝角三角形abc的面积是 ab 1 bc 则ac a 5b c 2d 1 解析 选b 因为s abc acsinb 1 sinb 所以sinb 所以b 或 当b 时 经计算 abc为等腰直角三