高考数学一轮复习 6.5 合情推理与演绎推理课件 文 新人教A版.pptVIP

第五节合情推理与演绎推理 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 归纳推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出 的推理 称为归纳推理 简称归纳 特点 由 到整体 由 到一般的推理 全部 一般结论 部分 个别 2 类比推理 定义 由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 特点 由特殊到 的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 然后提出 的推理 我们把它们统称为合情推理 类似特征 特殊 类比 猜想 4 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到 的推理 5 演绎推理的一般模式 三段论 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据 对 做出的判断 特殊 一般原理 特殊情况 一般原理 特殊情况 2 必备结论教材提炼记一记 1 合情推理的结论是猜想 不一定正确 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确时 得到的结论一定正确 2 合情推理是发现结论的推理 演绎推理是证明结论的推理 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 归纳 类比 2 数学思想 合情推理思想 演绎推理思想 3 记忆口诀 合情未必就合理 推理正确靠演绎 演绎要用三段论 大小推理要合理 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理 2 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 3 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 但其结论是错误的 4 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 解析 1 错误 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 错误 平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适 3 正确 因为大前提错误 所以结论错误 4 错误 演绎推理在大前提 小前提和推理形式都正确时 得到的结论一定正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修1 2p30练习t1改编 已知数列 an 中 a1 1 n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 a an 3n 1b an 4n 3c an n2d an 3n 1 解析 选c a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 猜想an n2 2 选修1 2p35习题2 1a组t6改编 在等差数列 an 中 若a10 0 则有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 且n n 成立 类比上述性质 在等比数列 bn 中 若b9 1 则存在的等式为 解析 根据类比推理的特点可知 等比数列和等差数列类比 在等差数列中是和 在等比数列中是积 故有b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n n 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n n 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 北京高考 学生的语文 数学成绩均被评定为三个等级 依次为 优秀 合格 不合格 若学生甲的语文 数学成绩都不低于学生乙 且其中至少有一门成绩高于乙 则称 学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好 并且不存在语文成绩相同 数学成绩也相同的两位学生 那么这组学生最多有 a 2人b 3人c 4人d 5人 解析 选b 假设a b两位学生的数学成绩一样 由题意知他们语文成绩不一样 这样他们的语文成绩总有人比另一个人高 语文成绩较高的学生比另一个学生 成绩好 与已知条件 他们之中没有一个比另一个成绩好 相矛盾 因此 没有任意两位学生数学成绩是相同的 因为数学成绩只有3种 因而学生数量最大为3 即3位学生的成绩分别为 优秀 不合格 合格 合格 不合格 优秀 时满足条件 2 2014 新课标全国卷 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过a b c三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过b城市 乙说 我没去过c城市 丙说 我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 解析 由丙可知 乙至少去过一个城市 由甲说可知甲去过a c且比乙多 故乙只去过一个城市 且没有去过c城市 故乙只去过a城市 答案 a 3 2014 陕西高考 观察分析下表中的数据 猜想一般凸多面体中f v e所满足的等式是 解析 由题中所给的三组数据 可得5 6 9 2 6 6 10 2 6 8 12 2 由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数v 面数f及棱数e所满足的等式是f v e 2 答案 f v e 2 考点1类比推理 典例1 2015 泉州模拟 设 abc的三边长分别为a b c abc的面积为s 内切圆半径为r 则r 类比这个结论可知 四面体abcd的四个面的面积分别为s1 s2 s3 s4 四面体abcd的体积为v 内切球半径为r 则r 解题提示 平面中的边长与面积类比空间中的面积与体积 二维图形中的2类比三维图形中的3 规范解答 三角形的面积类比四面体的体积 三角形的边长类比四面体四个面的面积 内切圆半径类比内切球的半径 二维图形中的类比三维图形中的 得r 答案 互动探究 把本例改为 在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a 类比上述结论 在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 解析 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥 它们的体积之和为正四面体的体积 设点到四个面的距离分别为h1 h2 h3 h4 每个面的面积为正四面体的体积为则有得h1 h2 h3 h4 答案 规律方法 类比推理的关键及情形 1 进行类比推理 应从具体问题出发 通过观察 分析 联想进行对比 提出猜想 其中找到合适的类比对象是解题的关键 2 类比推理常见的情形有 平面与空间类比 低维与高维的类比 等差与等比数列类比 运算类比 加与乘 乘与乘方 减与除 除与开方 数的运算与向量运算类比 圆锥曲线间的类比等 变式训练 若 an 是等差数列 m n p是互不相等的正整数 则有 m n ap n p am p m an 0 类比上述性质 相应地 对等比数列 bn m n p是互不相等的正整数 有 解析 等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积 等差数列中 m n ap类比等比数列中的答案 加固训练 2015 温州模拟 下面使用类比推理 得出正确结论的是 若a 3 b 3 则a b 类比出 若a 0 b 0 则a b 若 a b c ac bc 类比出 a b c ac bc 若 a b c ac bc 类比出 c 0 ab n anbn 类比出 a b n an bn 解析 中 3与0两个数的性质不同 故类比中把3换成0 其结论不成立 中 乘法满足对加法的分配律 但乘法不满足对乘法的分配律 是正确的 中 令n 2显然不成立 答案 考点2归纳推理知 考情归纳推理是发现问题 找出规律的具体鲜明的方法 也是创新的一种思维方式 因而成为高考考查的亮点 常以选择题 填空题的形式出现 主要考查数列 不等式 等式 函数 几何等问题 明 角度命题角度1 与数字有关的推理 典例2 2015 新乡模拟 从1开始的自然数按如图所示的规则排列 现有一个三角形框架在图中上下或左右移动 使每次恰有九个数在此三角形内 则这九个数的和可以为 a 2011b 2012c 2013d 2014 解题提示 设最上层的一个数为a 则第二层的三个数为a 7 a 8 a 9 第三层的五个数为a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 根据题意求和验证 规范解答 选b 根据题干图所示的规则排列 设最上层的一个数为a 则第二层的三个数为a 7 a 8 a 9 第三层的五个数为a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 这9个数之和为a 3a 24 5a 80 9a 104 由9a 104 2012 得a 212 是自然数 故选b 命题角度2 与不等式有关的推理 典例3 2015 宝鸡模拟 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 解题提示 观察不等式两边式子的特点 总结指数 项数 分子 分母之间的数量关系 规范解答 左边的式子的通项是右边式子的分母依次增加1 分子依次增加2 还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系 所以第五个不等式为答案 悟 技法1 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 2 处理与归纳推理相关的类型及策略 1 与数字有关 观察数字特点 找出等式左右两侧的规律可解 2 与不等式有关 观察每个不等式的特点 找到规律后可解 通 一类1 2015 临沂模拟 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推理可得 若定义在r上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x a f x b f x c g x d g x 解析 选d 由所给函数及其导数知 偶函数的导函数为奇函数 因此当f x 是偶函数时 其导函数应为奇函数 故g x g x 2 2015 泸州模拟 一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍 若按每横排4人编队 最后差3人 若按每横排3人编队 最后差2人 若按每横排2人编队 最后差1人 则这只游行队伍的最少人数是 a 1025b 1035c 1045d 1055 解析 选c 设这只游行队伍的最少人数是n 因为每横排4人编队 最后差3人 若按每横排3人编队 最后差2人 若按每横排2人编队 最后差1人 所以n 1是2 3 4的公倍数 即12的倍数 即n 1 1008 12k k n 则n 1009 12k k n 又因为n为5的倍数 故当k 3时 1045是满足条件的最少人数 故选c 3 2013 陕西高考 观察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此规律 第n个等式可为 解析 12 1 12 22 1 2 12 22 32 1 2 3 12 22 32 42 1 2 3 4 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n 1 n 1答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 考点3演绎推理 典例4 2015 保定模拟 数列 an 的前n项和记为sn 已知a1 1 an 1 sn n n 证明 1 数列是等比数列 2 sn 1 4an 解题提示 1 利用an 1 sn 1 sn消去an 1 2 根据是等比数列得到sn 1与sn 1的关系 再利用an sn 1证明 规范解答 1 因为an 1 sn 1 sn an 1 所以 n 2 sn n sn 1 sn 即nsn 1 2 n 1 sn 所以 小前提 故是以1为首项 2为公比的等比数列 结论 大前提是等比数列的定义 这里省略了 2 由 1 可知所以sn 1 4 n 1 sn 1 4an n 2 小前提 又a2 3s1 3 s2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 所以对于任意正整数n 都有sn 1 4an 结论 规律方法 三段论的依据及应用时的注意点 1 演绎推理的一般模式为三段论 三段论推理的依据是 如果集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s中所有元素都具有性质p 2 应用三段论的注意点 解决问题时 首先应该明确什么是大前提 小前提 然后再找结论 变式训练 2015 北京模拟 若f a b f a f b a b n 且f 1 2 则 解析 利用三段论 因为f a b f a f b a b n 大前提 令b 1 则 f 1 2 小前提 所以所以原式 2014 答案 2014 加固训练 已知函数y f x 满足 对任意a b r a b 都有af a bf b af b bf a 1 试证明 f x 为r上的单调增函数 2 若x y为正实数且 4 比较f x y 与f 6 的大小 解析 1 设x1 x2 r 取x1x1f x2 x2f x1 所以x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 因为x10 所以f x2 f x1 所以y f x 为r上的单调增函数 创新体验6演绎推理中的创新问题 创新点拨 1 高考考情 与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点 常与集合 函数等结合 且考查的频次较高 2 命题形式 常见的有新概念 新法则 新运算等 新题快递 1 2013 广东高考 设整数n 4 集合x 1 2 3 n 令集合s x y z x y z x 且三条件x y z y z x z x y恰有一个成立 若 x y z 和 z w x 都在s中 则下列选项正确的是 a y z w s x y w sb y z w s x y w sc y z w s x y w sd y z w s x y w s 解题提示 本题在集合背景下利用新定义考查推理论证能力 应理解好元素在集合s中的含义 解析 选b x y z s即x y z x 且三条件x y z y z x z x y恰有一个成立 则x y z是x