第八章 第六节

第六节双曲线1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性 质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2双曲线1的焦距为()A5B.C2 D1解析：选C由双曲线1，易知c2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2.3(教材习题改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21 B.y21Cx21 D.1解析：选A设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.4(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由已知可得a1，c，所以e，解得m2.答案：25设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.解析：由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.答案：176(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.答案：5考什么怎么考高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.1与椭圆y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.y21B.y21C.1 Dx21解析：选B法一：椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.法二：设所求双曲线方程为1(10)，即1，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为1.答案：1怎样快解准解求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值注意求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)求解(如第4题)双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|PF2|2a(其中02a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题.高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形式出现，难度中等.(一)直接考利用双曲线的定义求轨迹方程1已知点F1(3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0) D.1(x0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点P的轨迹方程为1(x0)注意本题中“P到F1，F2的距离之差为4”而不是“P到F1，F2的距离之差的绝对值为4”，故P点的轨迹是双曲线的一支，而并非双曲线(二)迁移考焦点三角形问题2已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8解析：选B由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4.3设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为_解析：由题设条件得|PF1|PF2|3b，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，两个式子平方相减得|PF1|PF2|，则ab，整理得(3b4a)(3ba)0，即，所以e .答案：解题师说1迁移要准看到与焦点三角形有关的问题想到双曲线的定义及余弦定理的应用2方法要熟(1)根据动点与两定点的距离的差的绝对值判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据条件求出双曲线的方程(2)在焦点三角形中常利用余弦定理，结合双曲线的定义式|PF1|PF2|2a，建立|PF1|PF2|的联系3结论要记焦点三角形的特征，如图所示，设F1PF2.(1)PF1F2的面积S|PF1|PF2|sin b2.(2)若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点冲关演练1已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12 D6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.2设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|AF2|的最小值为_解析：由双曲线的标准方程为1，得a2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|，当AB是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.答案：10双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上.,常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线的方程.题点全练角度(一)求双曲线的离心率(或范围)1(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线yx，即bxay0上，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：角度(二)求双曲线的渐近线方程2设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1，A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyx Dyx解析：选C如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(a,0)，(a,0)所以，.因为A1BA2C，所以0，即(ca)(ca)0，即c2a20，所以b20，故1，即1.又双曲线的渐近线的斜率为，故该双曲线的渐近线的方程为yx.角度(三)求双曲线的方程3(2017天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B由离心率为，可知ab，ca，所以F(a,0)，由题意知kPF1，所以a4，解得a2，所以双曲线的方程为1.题“根”探求看个性角度(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2a2b2和e转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；角度(二)：求渐近线时，利用c2a2b2转化为关于a，b的方程双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k ；角度(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2a2b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程找共性求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：冲关演练1已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为()Axy0B.xy0Cx2y0 D2xy0解析：选A椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，所以a4b4a4，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是y x，即xy0.2已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(2,1) D(1,1)解析：选B若ABE是锐角三角形，只需AEF45，在RtAFE中，|AF|，|FE|ac，则ac，即b2a2ac，即2a2c2ac0，则e2e20，解得1e2，又e1，则1e2，故选B.3已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意知a，b1，c，设F1(，0)，F2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线C上，y1，即x22y，22y3y0，y0.1直线与双曲线位置关系的应用直线与双曲线位置关系与右支交于两个不同点与左支交于两个不同点与左、右两支各有一个交点满足条件2弦长公式设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|.3中点弦所在直线的斜率设双曲线上两点A，B连线的中点为P(x0，y0)，双曲线的方程为1(a0，b0)，则此弦所在直线的斜率为k.典题领悟已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以解得k且k1.即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(，1)(1,1)(1，)(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1k2)x22kx20，所以当A，B在双曲线的一支上且|x1|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.所以SOAB|x1x2|，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.又因为k，且k1，所以当k0或k时，AOB的面积为.解题师说1解题“3步骤”2解题“2关键”(1)联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论(2)要灵活迁移运用根与系数的关系：平方关系的运用：(x1x2)2(x1x2)24x1x2；斜率关系的运用：k.3解题“1注意”注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，点所在双曲线的左、右支的位置不同，导致所求解的情况会有所不同冲关演练设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840， 则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3)(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，) D(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.2若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选B在双曲线中离心率e ，可得，故双曲线的渐近线方程是yx.3双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()A2 B. C. D.解析：选C由渐近线互相垂直可知1，即a2b2，即c22a2，即ca，所以e.4若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B虚半轴长相等C实半轴长相等 D焦距相等解析：选D由0k0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案：x2110双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab.又a2b2c28，a2.答案：2B级中档题目练通抓牢1(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为k(k0)，即1，双曲线C与椭圆1有公共焦点，4k5k123，解得k1，故双曲线C的方程为1.法二：根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知.又椭圆1的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根据可知a24，b25，所以C的方程为1.2(2018郑州质量检测)已知P(x，y)(其中x0)为双曲线x21上任一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则PAB的面积为()A. B.C. D与点P的位置有关解析：选C双曲线x21的渐近线方程为y2x，因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程y2x的倾斜角为，则tan 2，所以tanAPBtan 2，sinAPB，|PA|PB|，因此PAB的面积S|PA|PB|sinAPB，故选C.3过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A10 B13C16 D19解析：选B由题可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.4已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则双曲线E的离心率为_解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.答案：5过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为_解析：由得x，由解得x，不妨设xA，xB，由可得c，整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy0.答案：3xy06已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.7中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1(ab0)，双曲线方程为1(m0，n0)，则解得a7，m3.则b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，所以cosF1PF2.C级重难题目自主选做1已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|2|QF1|，则该双曲线的离心率为()A. B2C. D.解析：选A如图，连接PF2，QF2.由|PQ|2|QF1|，可设|QF1|m，则|PQ|2m，|PF1|3m.由|PF1|PF2|2a，得|PF2|PF1|2a3m2a.由|QF2|QF1|2a，得|QF2|QF1|2am2a.点P在以F1F2为直径的圆上，PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PQ|2|PF2|2|QF2|2.由|PQ|2|PF2|2|QF2|2，得(2m)2(3m2a)2(m2a)2，解得ma，|PF1|3m4a，|PF2|3m2a2a.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|F1F2|2c，(4a)2(2a)2(2c)2，化简得c25a2，双曲线的离心率e.2已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案：12(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A.B.C. D.解析：选D由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.2(2017天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：选D由OAF是边长为2的等边三角形可知，c2，tan 60.又c2a2b2，联立可得a1，b，双曲线的方程为x21.3设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选B因为F1AF290，故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF1|AF2|2a，所以|AF1|3a，|AF2|a，则10a24c2，即，故e(负值舍去)4已知双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|MF2|2b，该双曲线的离心率为e，则e2()A2 B.C. D.解析：选D由题意，圆的方程为x2y2c2，联立得即点M(a，b)，则|MF1|MF2|2b，即2，2，化简得，e4e210，解得e2.5(2018广东广雅中学、江西南昌二中联考)设F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为()A2 B.C2 D3解析：选B双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，线段OF的垂直平分线为直线x，将x代入yx，则y，则交点坐标为，到直线yx(即bxay0)的距离d|OF|，得c2b2，即4a23c2，则双曲线的离心率e，故选B.6若点P是以A(3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2y29的一个交点，则|PA|PB|_.解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|PB|2，又|PA|2|PB|236，联立化简得2|PA|PB|16，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|52，所以|PA|PB|2.答案：27已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为_解析：由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又已知|PF1|4|PF2|，所以|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，cosF1PF21，cosF1PF2e21，解得e，即e的最大值为.答案：8已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若0，则点P到x轴的距离为_解析：由题意知F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，点P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故点P到x轴的距离为|x0|2.答案：29已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，解得c3，b，双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .B级拔高题目稳做准做1(2018石家庄二中月考)已知直线l1，l2是双曲线C：y21的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1距离的取值范围是，则点P到渐近线l2距离的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A设点P(x0，y0)，由题可设渐近线l1：x2y0，渐近线l2：x2y0，由点P到直线l1的距离d1，点P到直线l2的距离d2，有d1d2，又y1，即x4y4，则d1d2，则d2，由d2与d1成反比，且d1，所以d2.故选A.2已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案：1