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抽象函数问题分类例析 四川 / 罗忠所谓抽象函数，是指只给出函数的一些性质，而未给出函数解析式的一类函数。抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景，它的特点是构思新颖、条件隐蔽、技巧性强，解法灵活。因此，抽象函数在各类考试中，成为考查的重点。一、 求函数解析式例1 设是一次函数，且求。设，求。设满足，求。分析已知函数为特定的类型,可采用等定系数法.视为整体,采用换元法或配方法可求得的解析式,再用整体代换中的,即可求出的解析式.注意到与互为倒数,可通过倒数代换联立方程组解出.解 设,则，。（法一）（法二） 令 在 中，用代替，得 联立，解得点评正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；求抽象函数的解析式常用配凑法、换元法、待定系数法以及取倒相消法等；在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数的定义域。二、 求函数的定义域或值域三、 判断函数的单调性例4设是定义在上的函数，且满足，对任意当时，都有，试判断的单调性。分析 由函数单调性的定义，首先作差，这里，且，再利用题设中的条件变形，考察的符号，就可得出结论。解 设由条件，得，又上是增函数。四、 不等式问题例5 已知函数是定义在上的减函数，并且满足且。求的值； 如果，求的取值范围。分析:这是一道函数的单调性与奇偶性的小型综合题,解题时可先将不等式化为的形式,然后利用函数的单调性脱去符号,不要忘了考虑函数的定义域.解 令又由 点评注意函数单调性定义域的逆向使用。事实上，若是增函数，则；若是减函数，则。关于复合函数的定义域，我们有：若的定义域是集合D，则的定义域是；若的定义域是D，则的定义域是，即函数的值域，解题时要时刻注意函数的定义域。五、 判断函数的周期 例6已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数，且，则的值等于。 分析:由为偶函数及为奇函数,可推得是周期函数,由其周期性,可使与建立联系. 解 又为奇函数， 由、可得， 故是以一个周期为4的周期函数。 点评：本题解题的关键在于由函数奇偶性及推出的周期性，此类方法在求自变量数字较大的函数值时，有很重要的作用。六、 方程的根的问题例7已知函数对于一切实数满足，若方程有个不同的实数根，这个实根的和是48，求的值。分析 由方程根的意义及等式的意义知，方程的根是成对出现的，且成对两根之和是12。解 由方知，如果是方程的根，那么也是方程的根，且由可知方程有四对不同的实数根，即方程有个不同的实数根，点评：解此题的关键是，理解的意义，判断出方程根的性质
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