2017年福建专升本高等数学复习要点1.0

伴伴教育专升本伴伴教育专升本 专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发 1 第一章 函数 极限与连续第一章 函数 极限与连续 本章考试基本要求 本章考试基本要求 1 理解函数 反函数 复合函数 初等函数的概念 函数的特性 会求函数的定义域 理解函数 反函数 复合函数 初等函数的概念 函数的特性 会求函数的定义域 2 理解函数极限概念 无穷小与无穷大间的关系 无穷小与极限间的关系 理解函数极限概念 无穷小与无穷大间的关系 无穷小与极限间的关系 3 会灵活运用极限四则运算法则及两个重要极限求函数的极限 会灵活运用极限四则运算法则及两个重要极限求函数的极限 4 理解函数的连续性与间断点的概念 会判断间断点的类型 理解函数的连续性与间断点的概念 会判断间断点的类型 1 1 函数 函数 主要内容主要内容 函函 数数 设设x和和 y 是两个变量 是两个变量 D 是一个给定的非空数集 如果对于每个数是一个给定的非空数集 如果对于每个数Dx 变量 变量 y 按照一定的对应法则按照一定的对应法则 f 总有确定的数值和它对应 则称总有确定的数值和它对应 则称 y 是是x的函数 记作的函数 记作 xfy x叫做自变量 叫做自变量 y 叫做因变量 数集叫做因变量 数集 D 叫做这个函数的定义域 叫做这个函数的定义域 一个函数当它的定义域及对应法则确定后 这个函数就确定了 所以 定义域和 对应法则称为函数的两要素 一个函数当它的定义域及对应法则确定后 这个函数就确定了 所以 定义域和 对应法则称为函数的两要素 反反 函函 数数 设设 xfy 在区间在区间 I 上有定义 对应的函数值集合为上有定义 对应的函数值集合为 DxxfyyY 如 果对于每个数 如 果对于每个数Yy 按照对应法则 按照对应法则yxf 在 在 I 中有惟一的数中有惟一的数x与与 y 对应 则称这样得到的函数为 对应 则称这样得到的函数为 xfy 在区间在区间 I 上的反函数 记为上的反函数 记为 1 yfx 或按字母 使用习惯记为 或按字母 使用习惯记为 1 xfy 而 而 xfy 称为直接函数 称为直接函数 注 反函数定义域和值域与直接函数的值域和定义域对应相等 注 反函数定义域和值域与直接函数的值域和定义域对应相等 互为反函数的两个函数的图象关于直线 互为反函数的两个函数的图象关于直线xy 对称 对称 复合复合 函数函数 若函数若函数 ufy 的定义域为的定义域为 1 D 函数 函数 xu 在数集在数集 2 D上有定义 对应的值域上有定义 对应的值域 22 DxxuuW 并且 并且 12 DW 那么对于每个数值 那么对于每个数值 2 Dx 有确定的 数值 有确定的 数值 2 Wu 与与x值对应 由于这个值值对应 由于这个值u也属于函数也属于函数 ufy 的定义域的定义域 1 D 因此有 确定的值 因此有 确定的值y与值与值u对应 这样对于每个数值对应 这样对于每个数值 2 Dx 通过 通过u有确定的数值有确定的数值y与与x对 应 从而得到一个以 对 应 从而得到一个以x为自变量 为自变量 y为因变量的函数 这个函数称为由函数为因变量的函数 这个函数称为由函数 ufy 及及 xu 复合而成的复合函数 记作复合而成的复合函数 记作 xfy 而 而u称为中间变量 注 不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的 称为中间变量 注 不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的 复合函数可以有多个中间变量 复合函数可以有多个中间变量 基本初 等函数 基本初 等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 初等初等 函数函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可 以用一个式子表示的函数 叫做初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可 以用一个式子表示的函数 叫做初等函数 有有 界界 性性 设数集设数集X是函数是函数 xf的定义域的一个子集 如果存在正数的定义域的一个子集 如果存在正数M 使得与任一 使得与任一 Xx 所对应的函数值所对应的函数值 xf满足不等式 满足不等式 Mxf 则称函数 则称函数 xf在在X上有 界 否则称函数 上有 界 否则称函数 xf在在X上无界 上无界 注 有界函数注 有界函数 xf在在X上的图象夹在两平行线上的图象夹在两平行线MyMy 之间 之间 免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心辅导名师独家授课 第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询电话 0591 87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本 2 单单 调调 性性 设函数设函数 xf的定义域为的定义域为D 区间 区间DI 对于 对于I内任意两点内任意两点 21 x x 1 如果当 如果当 21 xx 时 恒有时 恒有 21 xfxf 则称函数 则称函数 xf在在I内是单调增加的 内是单调增加的 2 如果当 如果当 21 xx 时 恒有时 恒有 21 xfxf 则称函数 则称函数 xf在在I内是单调减少的 注 单调增加函数的图象从左往右是上升的 单调减少函数的图象从左往右是下 降的 内是单调减少的 注 单调增加函数的图象从左往右是上升的 单调减少函数的图象从左往右是下 降的 奇奇 偶偶 性性 设函数设函数 xf的定义域的定义域D关于原点对称 关于原点对称 如果对于任一如果对于任一Dx 恒有 恒有 xfxf 则称 则称 xf为奇函数 为奇函数 如果对于任一如果对于任一Dx 恒有 恒有 xfxf 则称 则称 xf为偶函数 为偶函数 注 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于注 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 轴对称 周周 期期 性性 对于函数对于函数 xf 如果存在一个不为零的数 如果存在一个不为零的数L 使得对于定义域内的任何 使得对于定义域内的任何x值 值 Lx 仍在定义域内 且关系式仍在定义域内 且关系式 xfLxf 恒成立 则称恒成立 则称 xf为周期函数 为周期函数 L 称为它的一个周期 称为它的一个周期 注 函数的周期是指它的最小正周期 注 函数的周期是指它的最小正周期 周期为 周期为L 的周期函数的图象 在长度为的周期函数的图象 在长度为L的任何区间上有相同的形状 的任何区间上有相同的形状 1 2 函数的极限函数的极限 主要内容主要内容 函函 数数 极极 限限 1 自变量 自变量x趋于有限数趋于有限数 0 x的极限的极限 设函数设函数 xf在点在点 0 x的某一去心邻域内有定义 如果当的某一去心邻域内有定义 如果当x充分接近充分接近 0 x 但不等于 但不等于 0 x 时 对应的函数值 时 对应的函数值 xf与某个确定的常数与某个确定的常数A之差的绝对值之差的绝对值Axf 总能保持小于 预先给定的正数 总能保持小于 预先给定的正数 无论它多么小 则称当 无论它多么小 则称当x趋于趋于 0 x时函数时函数 f x的极限为的极限为A 记 为 记 为 Axf xx lim 0 或或 0 xxAxf 将上面定义中的去心邻域改为左 右 去心邻域 就得到左 右 极限的定义 分别记为 将上面定义中的去心邻域改为左 右 去心邻域 就得到左 右 极限的定义 分别记为 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 2 自变量 自变量x无限增大时的极限无限增大时的极限 如果当如果当x充分大时 对应的函数值充分大时 对应的函数值 xf与某个确定的常数与某个确定的常数A之差的绝对值之差的绝对值 Axf 总能保持小于预先给定的正数总能保持小于预先给定的正数 无论它多么小 则称当 无论它多么小 则称当 x时函数时函数 xf的极限为的极限为A 记作 记作Axf x lim或或 xAxf 将将x充分大改为充分大改为0 x且且x无限增大 记作无限增大 记作 x 或 或0 x且且x 无限增大 记作无限增大 记作 免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心辅导名师独家授课 第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询电话 0591 87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本 专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发 3 x 就得到 就得到Axf x lim 或 或Axf x lim 的定义 的定义 保保 号号 性性 如果如果Axf xx lim 0 且且 0 0 AA 则必存在 则必存在 0 x的某一去心邻域 当的某一去心邻域 当x在该去心邻 域内时 在该去心邻 域内时 0 0 xfxf 重要重要 结论结论 Axf xx lim 0 的充要条件是的充要条件是Axfxf xxxx lim lim 00 Axf x lim的充要条件是的充要条件是lim lim xx f xf xA 水平水平 渐近渐近 线线 若若cxf x lim 或或cxf x lim或或cxf x lim 则称直线 则称直线cy 为曲线为曲线 xfy 的水平渐近线 的水平渐近线 1 3 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大 主要内容主要内容 无穷小无穷小 若若 0 lim 0 xx f x 或 或lim 0 x f x 就称函数 就称函数 xf当当 0 xx 或 或x 时为无穷小 时为无穷小 注 无穷小是以 为极限的变量 注 无穷小是以 为极限的变量 说到无穷小 必须指明自变量的变化过程 无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈 零是惟一可以作为无穷小的常数 说到无穷小 必须指明自变量的变化过程 无穷小与绝对值很小的数不能混为一谈 零是惟一可以作为无穷小的常数 无穷大无穷大 若 若 lim 0 xf x xx 则称函数 则称函数 xf当当 0 xxx时为无穷大 时为无穷大 若 若 lim 0 xf x xx 则称函数 则称函数 xf当当 0 xxx时为正无穷大 若 时为正无穷大 若 lim 0 xf x xx 则称函数 则称函数 xf当当 0 xxx时为负无穷大 注 无穷大是变量 时为负无穷大 注 无穷大是变量 说到无穷大 必须指明自变量的变化过程 无穷大与绝对值很大的数不能混为一谈 说到无穷大 必须指明自变量的变化过程 无穷大与绝对值很大的数不能混为一谈 无穷小与极 限的关系 无穷小与极 限的关系 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 反之 如果函数可表示为 常数与一个无穷小之和 那么该常数就是此函数的极限 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和 反之 如果函数可表示为 常数与一个无穷小之和 那么该常数就是此函数的极限 无穷小与无 穷大的关系 无穷小与无 穷大的关系 在自变量的同一变化过程中 如果在自变量的同一变化过程中 如果 xf为无穷小 且为无穷小 且 0f x 则 则 1 f x 为 无穷大 反之 如果 为 无穷大 反之 如果 f x为无穷大 则为无穷大 则 1 f x 为无穷小 为无穷小 铅直渐近线铅直渐近线 若若 0 lim xx f x 或 或 0 lim xx f x 或或 0 lim xx f x 则称直线 则称直线 0 xx 为曲 线 为曲 线 xfy 的铅直渐近线 的铅直渐近线 1 4 极限运算法则 极限运算法则 主要内容主要内容 极限极限 运算运算 1 有限个无穷小之和 差 积仍是无穷小 2 有界函数与无穷小之积是无穷小 1 有限个无穷小之和 差 积仍是无穷小 2 有界函数与无穷小之积是无穷小 免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心辅导名师独家授课 第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询电话 0591 87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本 4 法则法则 3 若 3 若BxgAxf lim lim 则 则BAxgxf lim 4 若 4 若BxgAxf lim lim 则 则ABxgxf lim 特别地 若特别地 若n为正整数 为正整数 nn Axf lim 若 若C为常数 为常数 CAxCf lim 5 若 5 若BxgAxf lim lim且且0 B 则 则 B A xg xf lim 复合复合 函数函数 极限极限 的的 计算计算 设设ax xx lim 0 而函数 而函数 yf u 在在ua 连续 则复合函数连续 则复合函数 xfy 当当 0 xx 时 的极限存在 且 时 的极限存在 且 lim 0 afxf xx 也即 也即 lim lim 00 xfxf xxxx 注 连续函数求极限时函数符号与极限符号可以交换位置 注 连续函数求极限时函数符号与极限符号可以交换位置 1 5 两个重要极限 两个重要极限 主要内容主要内容 两个 重要 极限 两个 重要 极限 1 sin lim 0 x x x 注 只要注 只要0 0 lim xfxf 也有 也有1 sin lim xf xf e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 注 只要注 只要 limxf 也有 也有e xf xf 1 1lim 1 6 无穷小的比较 无穷小的比较 主要内容主要内容 无穷小 的阶 无穷小 的阶 设设 是自变量的同一变化过程中的无穷小量 是自变量的同一变化过程中的无穷小量 若若0lim 则称 则称 是比是比 高阶的无穷小 记作高阶的无穷小 记作 若若 lim 则称 则称 是比是比 低阶的无穷小 低阶的无穷小 若若0lim c 则称 则称 与与 是同阶的无穷小 是同阶的无穷小 若若1lim 则称 则称 与与 是等价无穷小 记作是等价无穷小 记作 无穷小 的性质 无穷小 的性质 若若 且 且 lim存在 则存在 则 limlim 这表明 求两个无穷小之比的极限时 可以用等价无穷小来代替 这表明 求两个无穷小之比的极限时 可以用等价无穷小来代替 1 7 函数的连续性与间断点 函数的连续性与间断点 主要内容主要内容 左左 右右 连连 1 若 若 xf在点在点 0 x的某个左邻域内有定义 且的某个左邻域内有定义 且 lim 0 0 xfxf xx 则称 则称 xf在在 0 x点 左连续 点 左连续 免费试听所有课程 若无法适应教学 全额退费 多位核心辅导名师独家授课 第一期已开发 60 份内部模拟试题库 咨询电话 0591 87891991 伴伴教育专升本伴伴教育专升本 专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发专注于英语 数学 计算机专业辅导与内部试题库开发 5 续续 2 若 若 xf在点在点 0 x的某个右邻域内有定义 且的某个右邻域内有定义 且 lim 0 0 xfxf xx 则称 则称 xf在在 0 x点 右连续 点 右连续 连连 续续 1 设 设 xf在点在点 0 x的某邻域内有定义 若的某邻域内有定义 若 lim 0 0 xfxf xx 则称 则称 xf在在 0 x处连 续 处连 续 0 x称为称为 xf的连续点 的连续点 2 记 记 00 xfxxfy 称为 称为 xf在在 0 x的增量 若的增量 若0lim 0 y x 则称 则称 xf 在在 0 x处连续 处连续 3 若函数 若函数 xf在开区间在开区间 ba内每一点处都连续 则称内每一点处都连续 则称 xf在在 ba内连续 内连续 连续函数的图像是一条连续不间断的曲线 连续函数的图像是一条连续不间断的曲线 重要 结论 重要 结论 xf在在 0 x点连续的充要条件是点连续的充要条件是 xf在在 0 x点既左连续 又右连续 即点既左连续 又右连续 即 lim 0 0 xfxf xx lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 间间 断断 点点 xf在在 0 x点有定义 点有定义 lim 0 0 xfxf xx lim 0 0 xfxf xx 三条中至少有一 条不满足 则称 三条中至少有一 条不满足 则称 xf在在 0 x点不连续 也称点不连续 也称 0 x为为 xf的间断点 的间断点 间断 点的 类型 间断 点的 类型 第一类间断点 第一类间断点 lim 0 xf xx 与与 lim 0 xf xx 都存在的间断点 含可去与跳跃两类 可去间断点 都存在的间断点 含可去与跳跃两类 可去间断点 lim 0 xf xx 与与 lim 0 xf xx 都存在且相等的间断点 跳跃间断点 都存在且相等的间断点 跳跃间断点 lim 0 xf xx 与与 lim 0 xf xx 都存在但不相等的间断点 第二类间断点 都存在但不相等的间断点 第二类间断点 lim 0 xf xx 与与 lim 0 xf xx 中至少有一个不存在的间断点 中至少有一个不存在的间断点 1 8 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 主要内容主要内容 连续函数 的四则运 算 连续函数 的四则运 算 连续函数的和 差 积 商 分母不为 连续函数的和 差 积 商 分母不为 0 时 连续 时 连续 若函数 若函数 xfy 在某区间上单值 单调增加 或减少 且连续 则它的反 函数 在某区间上单值 单调增加 或减少 且连续 则它的反 函数 1 yfx 也在对应区间上单值 单调增加 或减少 且连续 也在对应区间上单值 单调增加 或减少 且连续 连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数 连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数 初等函数 的连续性 初等函数 的连续性 基本初等函数在它们的定义域内是连续的 基本初等函数在它们的定义域内是连续的 一