2011高三数学(理科)导数及其应用(试题版).doc

2011高三数学(理科)：导数及其应用知识要点梳理知识点一： 导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径 关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率是，切线方程为 。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式： ； (aQ)； ； ； 2、导数的四则运算法则： ； ； 知识点三：导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数；(3) 在定义域内解不等式；(4) 确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；(2) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意： 在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能 有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或 最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整 个定义区间上的最小值。 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问 题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有 切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的 切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 求方程的根； 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)4、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系： 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数 的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； 极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内 部，也可能在区间的端点。 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值。规律方法指导 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的 具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调 性。 函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值 未必小于极大值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当 且仅当在x0的左右f(x)的符号产生变化。 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和 一个最小值，但是最值点可以不唯一。 在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当 在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 利用导数可以判定函数的单调性，从而也可以利用导数证明某些不等式。利用导数证明某些不等式 的基本步骤：依据题意构造函数、判定函数的单调性、利用单调性证明要证明的不等式。【典例精析】1.导数定义的应用2BCAyx1O34561234例1 (2008北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，例(2006重庆高考)已知函数,其中，（）略，（）若且，试证：2. 利用导数研究函数的图像例3 （2009安徽高考）设b,函数的图像可能是 例4（2009年湖南卷）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是yababaoxoxybaoxyoxybA B C D3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围【变式1】（2004年全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围【变式2】(2005年湖南高考)已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；【变式3】（2009浙江高考）已知函数 若函数在区间上不单调，求的取值范围（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6 （2009江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A或 B或 C或 D或【变式】（2008辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）ABCD5. 利用导数求函数的极值与最值例7（2009天津卷理）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率； （2） 当时，求函数的单调区间与极值。 例8（2008年天津高考）已知函数（），其中若函数仅在处有极值，求的取值范围6.利用导数解决实际问题例9用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例10(2009年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【真题检测】1、已知函数且是的两个极值点，（）求的取值范围；（）若，对恒成立。求实数的取值范围2、已知是实数，函数（）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值3、已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围4、已知函数，（）当时，求的极值；KS*5U.