高考数学 第六章 第五节 合情推理与演绎推理课件 文 北师大版.ppt

第五节合情推理与演绎推理 1 推理 1 定义 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 2 分类 推理一般分为 与 两类 思维过程 合情推理 演绎推理 2 合情推理 每一个事物都有这种 属性 类似 其他特征 类似 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3 演绎推理 1 形式 大前提 小前提 结论 2 特点 由 到 的推理 一般性命题 似性 一致性 个别 相同性质 相 一般性道理 研究对象的特殊情况 由大前提和小前提作出的判断 一般 特殊 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 4 某校高三 1 班有55人 2 班有54人 3 班有52人 由此得高三所有班级人数均超过50人 解析 1 错误 归纳推理和类比推理所得到的结论都不一定正确 2 正确 这是类比推理 属于合情推理 3 错误 平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适 而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 4 错误 不能断定高三所有班级人数均超过50人 答案 1 2 3 4 1 下列推理是归纳推理的是 a a b为定点 动点p满足 pa pb 2a ab a 0 则动点p的轨迹是以a b为焦点的双曲线 b 由a1 2 an 3n 1 求出s1 s2 s3 猜想出数列 an 的前n项和sn的表达式 c 由圆x2 y2 r2的面积s r2 猜想出椭圆的面积s ab d 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 解析 选b a为演绎推理 c d为类比推理 2 给出下面类比推理命题 其中q为有理数集 r为实数集 c为复数集 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 若a b c d r 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d q 则 a c b d 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 其中类比得到的结论正确的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选c 由复数以及实数的性质可知 是正确的类比 其结果是正确的 而类比 得到的结论是错误的 例如 a 2 i b 1 i 有a b 1 0 但不能有2 i 1 i 因为虚数不能比较大小 3 命题 有理数是无限循环小数 整数是有理数 所以整数是无限循环小数 是假命题 推理错误的原因是 a 使用了归纳推理 b 使用了类比推理 c 使用了 三段论 但大前提错误 d 使用了 三段论 但小前提错误 解析 选c 该推理符合 三段论 的形式 但大前提是错误的 因为并不是所有的有理数都是无限循环小数 4 设记f1 x f x 若fn 1 x f fn x 则f2012 0 a 0 b 1 c 1 d 不存在 解析 选a 所以f5 x f1 x f6 x f2 x f2012 x f4 x x 故f2012 0 0 5 已知a0 0 a1 0 a2 0 a3 0 设方程a0 x a1 0的一个根是x1 则方程a0 x2 a1x a2 0的两个根是x1 x2 则由此类推方程a0 x3 a1x2 a2x a3 0的三个根是x1 x2 x3 则x1 x2 x3 a b c d 解析 选a 由给出的一次方程 二次方程的根之和与系数的关系可得 考向1归纳推理 典例1 1 2012 江西高考 观察下列事实 x y 1的不同整数解 x y 的个数为4 x y 2的不同整数解 x y 的个数为8 x y 3的不同整数解 x y 的个数为12 则 x y 20的不同整数解 x y 的个数为 a 76 b 80 c 86 d 92 2 设先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 思路点拨 1 分析每一个方程中等号右边的数值与方程解的个数的倍数关系 发现其中的规律 2 由0 1 1 1 2 1 2 3 1 以及f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 的值可猜想f x f 1 x 的值 规范解答 1 选b 由已知条件得 x y n n n 的整数解 x y 个数为4n 故 x y 20的整数解 x y 的个数为80 2 互动探究 利用本例第 2 题中的结论计算f 2012 f 2011 f 1 f 0 f 1 f 2013 的值 解析 由本例第 3 题中的结论f x f 1 x 得方法一 f 2012 f 2013 f 2011 f 2012 故f 2012 f 2011 f 1 f 0 f 1 f 2013 方法二 令s f 2012 f 2011 f 2013 则s f 2013 f 2012 f 2012 2s 4026 f 2012 f 2013 4026 拓展提升 归纳推理的步骤与技巧 1 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 2 归纳推理是一种重要的思维方法 但结果的正确性还需进一步证明 一般地 考察的个体越多 归纳的结论可靠性越大 因此在进行归纳推理时 当规律不明显时 要尽可能多地分析特殊情况 由此发现其中的规律 从而获得一般结论 变式备选 1 2013 鹰潭模拟 观察下列等式 12 112 22 312 22 32 612 22 32 44 10 由以上等式推测到一个一般的结论 对于n n 12 22 32 42 1 n 1n2 解析 由上述已知等式的特点 可得12 22 32 42 1 n 1n2 答案 2 2012 长沙模拟 下列一组不等式 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使以上的不等式成为推广不等式的特例 则推广的不等式为 解析 观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的次数之间的关系可得 答案 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 考向2类比推理 典例2 1 2013 西安模拟 按照下面三种化合物的结构式及分子式规律 写出后一种化合物的分子式是 a c4h7 b c4h8 c c4h9 d c4h10 2 2013 太原模拟 若等差数列 an 的首项为a1 公差为d 前n项的和为sn 则数列为等差数列 且通项为类似地 请完成下列命题 若各项均为正数的等比数列 bn 的首项为b1 公比为q 前n项的积为tn 则 思路点拨 1 观察c h的变化特点 类比出后一个化合物的分子式 2 除 与 开方 相类比 即 加 与 乘 相类比 规范解答 1 选d 由前三种化合物的结构式及分子式规律可知 后一种化合物比前一种化合物多一个c和两个h 故后一种化合物的分子式为c4h10 2 因为tn b1 b2 b3 bn q1 2 3 n 1 所以数列是首项为b1 公比为的等比数列 其通项为答案 数列为等比数列 且通项为 拓展提升 1 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 2 熟悉常见的类比对象 1 平面与空间的类比 2 等差数列与等比数列的类比 变式训练 1 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析 答案 1 8 2 2013 宁德模拟 若 an 是等差数列 m n p是互不相等的正整数 则有 m n ap n p am p m an 0 类比上述性质 相应地 对等比数列 bn m n p是互不相等的正整数 有 解析 由等差数列与等比数列的性质易得结论 答案 考向3演绎推理 典例3 已知函数f x x2 2bx c c b 1 若函数f x 的一个零点为1 且函数y f x 1有零点 1 证明 3 c 1且b 0 2 若m是函数y f x 1的一个零点 判断f m 4 的正负并加以证明 思路点拨 1 由函数f x 的一个零点为1 代入可得b与c的关系式 由函数y f x 1有零点 可用判别式建立不等式从而得到c与b的范围 2 将f m 4 用m与c表示 结合 1 判断符号 规范解答 1 因为f x 的一个零点为1 所以f 1 0 即1 2b c 0 即又因为c b 1 于是函数y f x 1有零点 即方程x2 2bx c 1 0有实根 故 4b2 4 c 1 0 c 3或c 1 又所以 3 c 1 由知b 0 2 f x x2 2bx c x2 c 1 x c x c x 1 因为m是函数y f x 1的一个零点 所以f m 1 从而f m m c m 1 0 即f m 4 的符号为正 拓展提升 三段论推理易错点三段论式的演绎推理在高考中是常考点 也是证明题的常用方法 一定要保证大前提正确 且小前提是大前提的子集关系 这样经过正确推理 才能得出正确结论 常见易错点是对大前提 凭空想象 思维定势 想当然 从而出错 或者小前提与大前提 不兼容 不包容 互补 而出错 变式训练 已知函数y f x 满足 对任意a b r a b 都有af a bf b af b bf a 1 试证明 f x 为r上的增函数 2 若x y为正实数且比较f x y 与f 6 的大小 解析 1 设x1 x2 r 取x1x1f x2 x2f x1 x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 x10 f x2 f x1 所以f x 为r上的增函数 2 因为x y为正实数 且所以当且仅当时取等号 因为f x 在r上是增函数 且所以f x y f 6 易错误区 归纳推理不当致误 典例 2012 陕西高考 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 误区警示 本题在解答中容易出现以下错误 1 对于给定的式子 只观察其结果 而不去继续探究下面几个式子 从而找不到正确的规律而误解 2 错误地以为 第几个式子 其左边的最后一项的分母就是几的平方 从而 错误地得到第五个不等式为 规范解答 左边的式子的通项是右边的分母依次增加1 分子依次增加2 还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系 所以第五个不等式为答案 思考点评 多角度分析规律通过归纳推理 得到一般规律时 要仔细观察不等式两边式子的特点 从各个不同的角度分析规律 总结不等式中指数 项数 分子 分母之间的数量关系 由此得到一般规律 1 2013 宝鸡模拟 为保证信息安全传输 有一种秘密密码加密系统 其加密 解密的原理如图 现在加密密钥为y loga x 2 如上所示 明文 6 通过加密后得到密文 3 再发送 接受方通过解密密钥解密得到明文 6 问 若接受方接到密文 4 则解密后的明文为 a 12 b 13 c 14 d 15 解析 选c 加密密钥为y loga x 2 由其加密解密原理可知 当x 6时 y 3 a 2 不妨设接受方接到密文为 4 的明文为b 则有4 log2 b 2 b 2 24 16 b 14 2 2013 铜川模拟 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选b 根据所学知识知sin sin cos cos sin 故 与 都是错误的 只有 正确 3 2013 西安模拟 观察下列式子 根据以上式子可以猜想 解析 由知 答案 4 2013 赣州模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 则s4 s8 s4 s12 s8 s16 s12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项和为tn 则t4 成等比数列 解析 由等差数列中的 差 类比等比数列中的 商 成等比数列 答案 1 已知21 1 2 22 1 3 3 4 23 1 3 5 4 5 6 以此类推 第5个等式为 a 24 1 3 5 7 5 6 7 8 b 25 1 3 5 7 9 5 6 7 8 9 c 24 1 3 5 7 9 6 7 8 9 10 d 25 1 3 5 7 9 6 7 8 9 10 解析 选d 由已给出的规律 第4个等式为24 1 3 5 7 5 6 7 8 第5个等式为 25 1 3 5 7 9 6 7 8 9 10 选d 2 因为对数函数y logax是增函数 大前提 而是对数函数 小前提 所以是增函数 结论 以上推理的错误是 a 大前提错误导致结论错误 b 小前提错误导致结论错误 c 推理形式错误导致结论错误 d 大前提和小前提错误导致结论错误 解析 选a 对数函数y logax不一定是增函数 当0 a 1时是减函数 所以大前提错误 3 在等差数列 an 中 若an