高考数学 第七章 第七节 空间直角坐标系课件 文 北师大版.ppt

第七节空间直角坐标系 1 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系的建立 如图 坐标系为 系 指 记为 指 轴 指 轴 指 轴 和 和 和 确定的平面分别指 平面 平面 平面 右手 原点 o x y z xoy yoz xoz 2 空间直角坐标系中的点的坐标表示类似于平面直角坐标系中点的坐标表示 在空间直角坐标系中 用一个三元有序数组来刻画空间点的位置 任意一点p的坐标记为 2 空间两点间的距离公式 1 如果长方体的长 宽 高分别为a b c 那么对角线长d 2 空间两点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 间的距离 ab x y z 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成8部分 2 在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球 3 在空间直角坐标系中 点m x y z 其中xyz 0关于x轴的对称点坐标为 x y z 4 在空间直角坐标系中 点p x y z 关于xoz平面的对称点p 的坐标为 x y z 解析 1 正确 空间直角坐标系中 三个坐标平面把空间分成8个部分 2 错误 在空间中 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球面而不是球 3 错误 在空间直角坐标系中 关于x轴的对称点坐标 横坐标不变 其余坐标互为相反数 即m x y z 关于x轴对称的点的坐标为 x y z 4 错误 点p x y z 关于xoz平面的对称点p 的坐标应为p x y z 答案 1 2 3 4 1 点 2 0 5 在空间直角坐标系中的位置是在 a y轴上 b xoy平面内 c xoz平面内 d yoz平面内 解析 选c 由点在坐标系内的特征 可得该点在xoz平面内 2 在空间直角坐标系中 点p 3 4 5 关于yoz平面对称的点的坐标为 a 3 4 5 b 3 4 5 c 3 4 5 d 3 4 5 解析 选a 点p 3 4 5 关于yoz平面对称 则纵坐标与竖坐标不变 横坐标互为相反数 故其对称点的坐标为 3 4 5 3 在空间直角坐标系中 点a 1 0 1 与点b 2 1 1 之间的距离为 解析 选a 4 点p 1 4 3 与点q 3 2 5 的中点坐标是 a 4 2 2 b 2 1 2 c 2 1 1 d 4 1 2 解析 选c 设p与q的中点坐标为 x y z 则即中点坐标为 2 1 1 5 点p 1 2 3 关于y轴的对称点为p1 p关于坐标平面xoz的对称点为p2 则 p2p1 解析 p1 1 2 3 p2 1 2 3 p2p1 答案 考向1求空间点的坐标 典例1 1 空间直角坐标系中 点p 2 3 4 在x轴上的射影的坐标为 2 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 且边长为2a 棱pd 底面abcd pd 2b e f g h分别为棱pa pb pc pd的中点 试建立适当的空间直角坐标系 写出点e f g h的坐标 思路点拨 1 空间直角坐标系中 点在x轴上的射影的坐标满足横坐标不变 纵 竖坐标均为零 2 由于棱pd 底面abcd 故可考虑以pd所在直线为z轴建立空间直角坐标系 规范解答 1 点p 2 3 4 在x轴上的射影的横坐标与点p相同 纵坐标 竖坐标均为0 故射影坐标为 2 0 0 答案 2 0 0 2 由题意知 da dc dc dp dp da 故以d为原点 建立如图所示的空间直角坐标系oxyz 因为e f g h分别为侧棱中点 由立体几何知识可知 平面efgh与底面abcd平行 从而这4个点的竖坐标都为p的竖坐标的一半 也就是b 由h为dp中点 得h 0 0 b e在底面上的投影为ad的中点 所以e的横坐标和纵坐标分别为a和0 所以e a 0 b 同理g 0 a b f在坐标平面xoz和yoz上的投影分别为点e和g 故f与e横坐标相同都是a 与g的纵坐标也同为a 又f的竖坐标为b 故f a a b 互动探究 若将本例题 2 中的条件 棱pd 底面abcd pd 2b 改为 各侧棱长均为2b 如何求解 解析 设正方形abcd的对角线ac和bd相交于点o 则po 底面abcd 建立如图所示的空间直角坐标系 拓展提升 求空间中点p的坐标的方法 1 过点p作与x轴垂直的平面 垂足在x轴上对应的数即为点p的横坐标 同理可求纵坐标 竖坐标 2 从点p向三个坐标平面作垂线 所得点p到三个平面的距离等于点p的对应坐标的绝对值 再判断出对应数值的符号 进而可求得点p的坐标 变式备选 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长均为2 以a为坐标原点建立适当的空间直角坐标系 求其各顶点的坐标 解析 以a点为坐标原点 ac aa1所在直线分别为y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设ac的中点是d 连接bd 则bd y轴 且 a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 a1 0 0 2 b1 1 2 c1 0 2 2 考向2空间中点的对称问题 典例2 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1的对称中心在坐标原点 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点a 2 3 1 求其他七个顶点的坐标 思路点拨 由题意知 长方体的各顶点关于原点o和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性 据此可写出其他七个顶点的坐标 规范解答 由题意得 点b与点a关于xoz平面对称 故点b的坐标为 2 3 1 点d与点a关于yoz平面对称 故点d的坐标为 2 3 1 点c与点a关于z轴对称 故点c的坐标为 2 3 1 由于点a1 b1 c1 d1分别与点a b c d关于xoy面对称 故点a1 b1 c1 d1的坐标分别为a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 拓展提升 解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点 1 看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称 明确哪些量发生了变化 哪些量没发生变化 2 记清各类对称点坐标间的对称关系 是解决此类问题的关键 提醒 可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点p关于原点 坐标轴 坐标平面的对称的特点 以便解决其他问题 变式训练 已知点p 2 3 1 求p关于y轴上的点 0 1 0 的对称点的坐标 2 求p关于y轴对称的对称点的坐标 解析 1 设p1 x y z 与点p关于点 0 1 0 对称 即点 0 1 0 是p1与p的中点 则 x 2 y 1 z 即点 2 1 为所求 2 过p 2 3 作y轴的垂线 交y轴于 0 3 0 问题就变为求p 2 3 关于点 0 3 0 的对称点的坐标 同 1 易得 2 3 为所求 考向3空间两点间的距离 典例3 1 点p a b c 到坐标平面xoy的距离是 a b c c c d a b 2 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点p在正方体的体对角线ab上 点q在棱cd上 当点p为对角线ab的中点 点q在棱cd上运动时 探究 qp 的最小值 思路点拨 1 可先求出p在坐标平面xoy上的射影 然后利用空间两点间的距离公式求解 2 确定点p q的坐标 利用两点间的距离公式得到 qp 然后利用函数知识解决 规范解答 1 选c p a b c 在平面xoy上的射影为 a b 0 点p a b c 到平面xoy的距离为 c 2 因为b 0 0 a a a a 0 p为ab的中点 所以又点q在棱cd上运动 所以可设q 0 a z0 其中z0 0 a 故 qp 因此当时 qp 的最小值为 互动探究 本例题 2 中 若将 当点p为对角线ab的中点 改为 当点p在对角线ab上运动时 其余条件不变 则结果如何 解析 显然 当点p在ab上运动时 点p到坐标平面xoz yoz的距离相等 所以可设p t t a t t 0 a 又q在cd上运动 所以可设q 0 a z0 z0 0 a 所以 qp 故当z0 t时 qp 有最小值为 拓展提升 1 求空间两点间距离的步骤 1 建立坐标系 写出相关点的坐标 2 利用公式求出两点间的距离 2 两点间距离公式的应用 1 求两点间的距离或线段的长度 2 已知两点间距离 确定坐标中参数的值 3 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 变式备选 已知点a的坐标是 1 t 1 t t 点b的坐标是 2 t t 则a与b两点间距离的最小值为 解析 选c 满分指导 解答含参数的立体几何问题 典例 12分 2013 东营模拟 如图 设动点p在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 记当 apc为钝角时 求 的取值范围 思路点拨 规范解答 建立如图所示空间直角坐标系dxyz 则a 1 0 0 c 0 1 0 1分 xp yp zp 1 p 1 3分 5分 7分即4 1 2 2 2 2 0 8分6 2 8 4 2 0 即3 2 4 1 0 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 延安模拟 在空间直角坐标系中 点p 2 3 4 与点q 2 3 4 两点的位置关系是 a 关于x轴对称 b 关于xoy平面对称 c 关于坐标原点对称 d 以上都不对 解析 选b p 2 3 4 与q 2 3 4 的横坐标与纵坐标相同 且竖坐标互为相反数 p与q关于xoy平面对称 2 2013 安康模拟 在坐标平面xoy内 到点a 3 2 5 b 3 5 1 距离相等的点有 a 1个 b 2个 c 不存在 d 无数个 解析 选d 在坐标平面xoy内 可设点p x y 0 为满足条件的点 由题意得解得所以符合条件的点有无数个 3 2013 滨州模拟 如图 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 bc 3 m为ac1与ca1的交点 则m点的坐标为 解析 由题意得m为ac1的中点 又a 0 0 0 c1 2 3 2 故答案 4 2013 合肥模拟 已知a 1 2 11 b 4 2 3 c 6 1 4 求证 abc是直角三角形 证明 ac 2 bc 2 ab 2 abc为直角三角形 1 若向量a在y轴上的坐标为0 其他坐标不为0 那么与向量a平行的坐标平面是 a xoy平面 b xoz平面 c yoz平面 d 以上都有可能 解析 选b a在y轴上的坐标为0