高考数学 4.3平面向量的数量积配套课件 文 新人教A版.ppt

第三节平面向量的数量积 1 平面向量的数量积 1 定义 a b cos 2 向量的投影设 为a与b的夹角 则向量a在b方向上的投影是 向量b在a方向上的投影是 3 平面向量数量积的几何意义数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与 的乘积 a cos b cos b在a的方向 上的投影 b cos 2 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或者 a 4 cos 5 a b a 2 a b 3 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 4 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 由a b a c及a 0不能推出b c 5 a2 a 2 解析 1 正确 由向量的投影的定义可知正确 2 正确 由数量积及向量线性运算的定义易得正确 3 不正确 因为当a b时也有a b 0 而不必a 0或b 0 4 正确 向量的数量积不满足消去律 5 正确 a2 a a a a a 2 答案 1 2 3 4 5 1 若a b c为任意向量 m r 则下列等式不一定成立的是 a a b c a b c b a b c a c b c c m a b ma mb d a b c a b c 解析 选d a b c表示与c共线的向量 a b c 表示与a共线的向量 而a c不一定共线 因此d选项不一定成立 2 若非零向量a b c满足a b 且a c 则c a 2b a 4 b 3 c 2 d 0 解析 选d 由a b及a c 得b c 则c a 2b c a 2c b 0 3 已知向量a 1 2 向量b x 2 且a a b 则实数x等于 a 9 b 4 c 0 d 4 解析 选a a b 1 x 4 由a a b 得1 x 8 0 x 9 4 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c 解析 选d 设c m n 则a c 1 m 2 n a b 3 1 对于 c a b 则有 3 1 m 2 2 n 又c a b 则有3m n 0 则有 5 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角为60 则b在a上的投影是 解析 b在a上的投影是 b cos a b 2cos60 1 答案 1 6 已知 a b 2 a 2b a b 2 则a与b的夹角为 解析 由 a b 2 a 2b a b 2 得a b 2 cos a b 又 a b 0 所以 a b 答案 考向1平面向量数量积的概念及运算 典例1 1 已知a 1 sin2x b 2 sin2x 其中x 0 若 a b a b 则tanx的值等于 2 2012 天津高考 在 abc中 a 90 ab 1 ac 2 设点p q满足若则 3 2012 北京高考 已知正方形abcd的边长为1 点e是ab边上的动点 则的值为 的最大值为 思路点拨 规范解答 1 选a 由 a b a b 知 a b 所以sin2x 2sin2x 即2sinxcosx 2sin2x 而x 0 所以sinx cosx 即 2 选b 由题意可得又ab 1 ac 2 4 1 2 解得 3 方法一 如图所示 以ab ad所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设e t 0 0 t 1 则d 0 1 b 1 0 c 1 1 t 1 0 1 方法二 选取作为基底 设则答案 11 拓展提升 向量数量积运算的两种方法 1 定义法 依据两向量的长度和夹角的余弦值计算 即a b a b cos a b 2 坐标法 依据向量的坐标来计算 即a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 变式训练 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x a 6 b 5 c 4 d 3 解析 选c 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即 18 3x 30 解得 x 4 故选c 2 已知两个单位向量e1 e2的夹角为若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 解析 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3 e1 2 2e1 e2 8 e2 2 又 e1 e2 e1 1 e2 1 b1 b2 3 8 3 1 8 6 答案 6 考向2平面向量的垂直与夹角 典例2 1 2013 广州模拟 设向量a b均为单位向量 且 a b 1 则a与b夹角为 2 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 3 设两个向量a b 满足 a 2 b 1 a与b的夹角为若向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 求实数t的范围 思路点拨 1 a 1 b 1 利用 a b 1 两边平方可求得a b 进而得出a b的夹角 2 向量a b与向量ka b垂直等价于 a b ka b 0 展开用数量积公式求得k的值 3 利用向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0且两向量不共线反向解题 规范解答 1 选c a b为单位向量 2 a b ka b a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又 a b为两个不共线的单位向量 式可化为k 1 1 k a b 若1 k 0 则a b 1 这与a b不共线矛盾 若1 k 0 则k 1 1 k a b恒成立 综上可知 k 1时符合题意 答案 1 3 由向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 得即 2ta 7b a tb 0 化简即得2t2 15t 7 0 解得当夹角为 时 也有 2ta 7b a tb 0 但此时夹角不是钝角 设2ta 7b a tb 0 可求得 所求实数t的范围是 拓展提升 向量垂直的判断方法及应用 1 若a b为非零向量 则a ba b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a bx1x2 y1y2 0 2 两个向量垂直与向量所在直线垂直是一致的 向量的线性运算与坐标运算是求解向量问题的两大途径 提醒 a b 00 0 0 是 为锐角 钝角 的必要而不充分条件 变式训练 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 3 若作 abc 求 abc的面积 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4 a 2 4a b 3 b 2 61 a 4 b 3 代入上式求得a b 6 2 可先平方转化为向量的数量积 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 a b 同理 考向3平面向量的模及应用 典例3 1 已知向量a cos sin 向量b 则 2a b 的最大值 最小值分别是 2 2012 新课标全国卷 已知向量a b的夹角为45 且 a 1 则 b 3 2013 东莞模拟 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 1 2 b 2 3 c 2 1 求以线段ab ac为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数t满足求t的值 思路点拨 1 运用三角函数的知识解决 2 将 2a b 的平方展开 代入 a a b的值 将所得看作关于 b 的方程 解方程即可 3 将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长或两点间的距离问题解决 利用向量的坐标运算解决 规范解答 1 选d 由于 2a b 2 4a2 b2 4a b 易知0 8 8cos 16 故 2a b 的最大值和最小值分别为4和0 2 a b的夹角为45 a 1 答案 3 方法一 由题设知 3 5 1 1 则所以故所求的两条对角线的长分别为 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为d 两条对角线的交点为e 则e为bc的中点 e 0 1 又e 0 1 为ad的中点 所以d 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 由题设知 2 1 拓展提升 解决向量长度问题的方法 1 几何法 利用向量的几何意义 即利用向量的加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 代数法 即利用公式把长度问题转化为数量积的运算来解决 变式训练 1 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 解析 选b 由向量a b c都是单位向量 可得a2 1 b2 1 c2 1 由a b 0及 a c b c 0 可以知道 a b c c2 1 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 所以有 a b c 2 3 2 a c b c 3 2 a b c 故 a b c 1 2 设在平面上有两个向量a cos sin 0 360 求证 向量a b与a b垂直 当向量与的模相等时 求 的大小 解析 因为 a b a b a 2 b 2故a b与a b垂直 由两边平方得 即cos 120 0 120 k 180 90 k z 即 k 180 210 k z 又0 360 则 30 或 210 满分指导 平面向量与三角函数综合题的规范解答 典例 13分 2013 广州模拟 已知向量其中x r 1 当时 求x值的集合 2 设函数f x a c 2 求f x 的最小正周期及其单调增区间 思路点拨 规范解答 1 k z 2分 所求x的集合为 4分 13分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 湖南高考 在 abc中 ab 2 ac 3 则bc 解析 选a 由余弦定理得 2 2013 阳江模拟 如图 已知正六边形p1p2p3p4p5p6 下列向量的数量积中最大的是 解析 选a 设正六边形的边长为1 则所以数量积最大的为 3 2012 广东高考 对任意两个非零的平面向量定义若两个非零的平面向量a b 满足a与b的夹角 且都在集合 则 解析 选d 结合选项a b c d分析可知 只有d符合 4 2013 湛江模拟 已知a b均为单位向量 它们的夹角为那么 等于 解析 选c 因为 a 3b 2 a 2 3b 2 2a 3b 所以 a 3b 2 1 9 2 13 所以 5 2013 汕头模拟 已知 a 2 b 0 且关于x的方程x2 a x a b 0有实根 则a与b的夹角的取值范围是 解析 由关于x的方程x2 a x a b 0有实根 得 a 2 4a b 0 a b a 2 设向量a b的夹角为 则 又 a 2 b 0 答案 1 已知向量m n的夹角为且在 abc中 d为bc边的中点 则 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 由题意知 2 已知o为平面上的一个定点 a b c是该平面上不共线的三个动点 点p满足条件 0 则动点p的轨