用二次微扰法计算镁原子的基态能量.doc

分类号 编 号 毕业论文题 目用二次微扰法计算镁原子基态能量 学 院 物理与信息科学学院 姓 名 张恒 专 业 物理学 学 号 271040343 研究类型 理论研究 指导教师 王文赜 提交日期 2011.5.9 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名：目 录1. 题目（1）2摘要 （1）3关键词 （1）4引言 （2）5镁原子哈密顿的简化 （2）6镁原子基态电子组态 （3）7镁原子基态能量的近似计算 （4）8 钠原子3s态能量的计算（5）9镁原子3s态能量的计算（6）10. 结果与结论 （7）11. 参考文献 （8）物理与信息科学学院2011届毕业论文用二次微扰法计算镁原子的基态能量张恒（天水师范学院物理与信息科学学院物理系,甘肃,天水,741000）摘要:对镁原子基态能量的计算采用一种简易的一级微扰方法,总共应用两次微扰,其中第一次是以氢原子的能量为零级近似能量,以氢原子波函数为零级近似波函数首先算得了钠原子的能量,然后应用同样的方法,以算得的钠原子能量为零级近似能量,以类氢离子的波函数为零级近似波函数, 再次应用一级微扰计算得到镁原子的能量。关键词：镁原子；原子实模型；一级微扰法；基态能量Using quadratic perturbation method to calculate the ground-state energy of the magnesium atomsBaiXiaozhi(School of Physics & Information Science, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu 741001, China)Abstract: The magnesium atom calculation of the ground state energy level using a simple perturbation method, applied twice a total of perturbation, the first of which is the energy of hydrogen atoms is zero level of energy, the hydrogen atom wave function for the micro-First of all it matter interference sodium atom wave function of energy, and then apply the same approach to be considered the amount of sodium atomic zero level of energy to the wave function of hydrogen ions for the perturbation wave function, again calculated by application of a perturbation Magnesium atom of energy.Key words: magnesium atom; atomic solid model; a perturbation; ground-state energy1.引言对于多电子体系能量的计算目前主要是应用解析法，这种方法计算直观，易于理解，有助于对相关物理问题做深入细致的分析，但这种方法既要考虑电子的自旋作用，又要考虑由微观粒子的全同性而引起的交换作用，体系的哈密顿量和波函数将相当的复杂，这就给计算带来了很大困难，而相关的教科书中只给出了氢和氦的体系能量计算，对多电子体系均未给出计算方法， 1998年5，Asaleh-Jahromi和William maebs将变分原理引入到解析方法，对锂原子的基态能量进行了近解析计算，计算结果已经接近实验结果，但仍有一定偏差， 2002年，李敬生，王大理等考虑了电子间的交换相互作用5，由区别了不同的电子受到不同的屏蔽库仑场，又重新计算了锂原子的基态能量，与实验值相差0.2%，但这种方法只能用于计算电子较少的简单体系，对于电子较多的复杂体系而言，就不能显示出这种计算方法的优越性，因为计算太复杂而忽略太多次要因素，造成计算结果与实验值仍有一定的偏差。2004年，王祥信首先两次应用微扰计算了锂原子和钠原子的基态能量，并完成了对钾原子基态能量的证明，其结果均与实验符合较好，而且这种方法与前面的近解析方法相比，过程简单容易操作，省去了繁杂累赘的数学积分计算，所以这就成为一种比较好的计算体系能量的近似方法。 由光谱和能级的位移定律可知1，具有原子序数为Z的中性原子的光谱和能级，同具有原子序数为Z+1的原子一次电离后的光谱和能级很相似，这也并不难理解，这是由于所说的两个体系具有相同的的电子数和组态，受到光谱和能级位移定律的启发，我们将具有原子序数为Z的中性原子可以看成是序数为Z的原子核和Z-1个电子构成的原子实，再加上一个价电子构成的中性体系，运用这种方法对镁原子体系进行分解，首先对镁原子体系的哈密顿进行简化，以钠原子能量为零级近似能量，以类氢离子的波函数为零级近似波函数，应用一级微扰，计算出镁原子基态能量，在求钠原子基态能量时，也应用相同的微扰法，只是以氢原子的能量为近似能量，以氢原子的波函数为近似波函数，计算结果与实验值相差不大，但计算过程简易，所以是一种比较好的计算镁原子基态能量的方法。2.镁原子哈密顿的简化 镁原子核外有12个电子，有两个满壳层结构和两个价电子，参考王祥信对钠原子基态能量的计算方法，可以将两个满壳层的电子和一个价电子看成原子实，将镁原子的十二个电子看成是原子实再加一个价电子的模型。外层价电子主要感受到的是原子核和内层电子的库仑力，价电子感受到的屏蔽库仑势用V（r）表示，忽略内层电子的相互作用，也就忽略了内层电子的相互作用能，镁原子价电子的哈密顿可以简化成（为方便期间，本文公式均采用原子单位） (1)参照Yukawa（屏蔽）库仑势3，可以将V(r)写作： V(r)=- (2)(2)式中的r为价电子的分布半径，为原子实的平均分布半径，原子实是一个球形对称的结构，它里边的原子核带有Ze正电荷和Z-1个电子。所以原子实共带（Z-1）e负电荷，当价电子在它外边运动时，好像是处在一单位正电荷的库仑场中，如图1所示,当r时,即价电子离原子核很远时V(r)=-1/r内层电子对Z-1个核电荷完全屏蔽，相当于只有一个核电荷对价电子产生作用，相反当r时，即价电子离原子核很近时，V(r)=-12/r相当于价电子受到全部的核电荷作用，这也与实际情况相符合。 图1将（1）（2）两式合并整理后再分成两部分有： （3）（3）式中的前一部分为氢原子的哈密顿，后一部分表示氢原子的内层电子产生的屏蔽库仑势，再将（3）式后半部分分成两项并重新整理为： （4）上式中的第一大项为Mg+粒子的哈密顿，其形式与钠原子的哈密顿一样，将该项视为钠原子的哈密顿，则1为钠原子中10个电子平均分布的半径，第二项为镁原子中第11个电子产生的屏蔽库仑势，2为镁原子中内层的11个电子的分布半径。3.镁原子的基态电子组态根据泡利不相容原理1，在原子中不能有两个电子处在同一状态，也就是说对于主量子数n，轨道角动量量子数l，轨道方向量子数ml，自旋方向量子数ms，不能有两个电子具有完全相同的四个量子数，对于一个主壳层n来说，又有多个不同的次壳层l，现在对每一个主壳层和次壳层中可容纳的最多电子数进行推算。因此对每一个L可以有2(2l+1)个不同的状态Nl=2(2l+1)，对于具有相同的主量子数n，l值可以有n个，l=0，1，2，（n-1） （5）对每一个j有2j+1个mj对每一个l，两个j即j=l+1/2和l-1/2,所以每一个次壳层最多可容纳的电子数为， NL=2（l+1/2）+1+2(l-1/2)+ 1 （6）所以在每一壳次中可以容纳的最多电子数也就是NL的数值总和，仍然是2n2个。根据上述结论，从公式（5）（6）中可以看到各壳层的最多电子数依次是2，8，18，32，50，72。这显然同周期表中各周期的元素数有关，但各周期的原素数依次是2，8，8，18，18，32，这同各壳层的电子数又不完全符合。下面就为n6的各壳层最多可容纳的电子数列为下表：表1 各壳层可以容纳的电子数1壳层, n123456最多电子数2n22818325072次壳层l001012012301234012345最多电子数2(2l+1)2262610261014261014182610141822由上表可以看出，镁原子的12个电子最多能排列到n=3的壳层，分别是（n=1,l=0）2个，（n=2,l=0）2个，（n=2,l=1）6个,(n=3,l=0)2个。所以 （7）如果不考虑同一壳层中电子之间的相互作用，由电子的径向坐标的量子力学平均值公式可得3: (8)可求得： (9)对钠原子，Z=11，由（9）式可以算得: 由（7）式可解得0.5891771623对镁原子，Z=12，由（9）式可以算得： 6.75000004.镁原子能量的近似计算由前面的（4）式可知欲求镁原子的能量，需先求出钠原子的能量，令： （10）由以上第（4）式可知： （11）其中为氢原子的哈密顿，为钠原子体系的微扰，以氢原子能量为零级近似能量，以氢原子的波函数为零级近似波函数，第一次运用微扰3： （12）解得即为钠原子的能量，然后以钠原子的能量为零级近似能量，以相应的类氢离子的波函数为零级近似波函数，将视为对镁原子体系的微扰，再用（12）式算出镁原子的能量，这就是计算的全过程，在计算时总共运用了两次一级微扰，两次运用一级微扰时分别以氢原子和钠原子的能量为零级近似能量，而以氢原子和类氢离子的波函数为零级近似波函数，这就是所谓的二次微扰法计算镁原子基态能量。下面以3S态为例，给出具体的计算过程。4.1钠原子3S态能量的计算氢原子的零级近似能量为，由上面第（12）式得能量一级修正为整理合并得: （13）下面求氢原子3S 态的径向波函数3 （14） 将R3S代入（14）式得： 运用原子单位即： （15）将（15）式代入（13）式令并积分得: 2 （16）由0.5891771623算得K=2.363949019代入（16）式得-0.0935421第一次运用一级微扰算得了钠原子能量的一级近似，于是可得钠原子的基态能量为，再由类氢离子的能级公式求得等效核电荷数为Z=1.6854634.2镁原子3s态能量的计算在前面已经计算出了钠原子3s态的能量作为镁原子能量微扰计算的零级近似能量，以类氢离子3S态的径向波函数为零级近似的波函数，令= -0.1571324 ，再应用第（12）式。对镁原子能量进行一级修正即： 将合并整理得： =- （17）由类氢离子的径向波函数得：（原子单位）1 （18）将(18）代入（17）式令并积分得： 2 （19）再由Z=1.685463，6.7500000，算得k=1.384568128将k代入（19）式得：-0.0295432于是可得镁原子的基态能量为：-0.18667565结果与结论 本文根据王祥信教授两次应用一级微扰计算钠原子基态能量的方法，应用了原子实模型，首先对镁原子的哈密顿进行简化，然后以氢原子的能量为近似能量，以氢原子的波函数为近似波函数，计算出钠原子能量，再以钠原子能量为零级近似能量，以类氢离子的波函数为零级近似波函数，再应用一次一级微扰，计算出镁原子基态能量E= -0.1866756(原子单位)从计算的结果与实验值比较而看，计算结果确实与实验值还是有一定的误差，所以这种方法在一定程度上只能对镁原子基态能量作近似计算，计算方法与解析法相比，计算过程大大简化，省去了许多复杂的数学积分，但计算结果与实验值比较接近。从计算的全过程来看，误差的主要来源是忽略的因素太多，比如电子之间的相互作用，以及由全同性原理引起的交换作用，轨道相互作用，相对论效应，以及电子自旋的影响。主要参考文献1 褚圣麟.原子物理学M.北京：高等教育出版社,1979. 2 王祥信.用二次微扰法计算锂原子的基态能量J.大学物理,1993,12(1):11. 3 曾谨言.量子力学 上册M北京:科学出版社,1984.274.4 黄时中,原子结构理论M 合肥:中国科学技术大学出版社.2005:85-104. 5 李敬生,王大理,黄时中.铍原子基态能量和波函数的计算J.安徽师范大 学学报:自然科学版,2002,25(4):339-342.致 谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有指导师的督促指导，以及一起学习的同学们的支持，想要完成这篇论文是难以想象的。在论文写作过程中，得到了王老师的亲切关怀和耐心的指导。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从