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例说整体思想在整式加减中的运用讹整体愚想在整式加减的逆用河北省馆陶县拐渠联校武香娇【摘要】用整体思想法解题,是指将题目中的某些条件或结论看作一个整体,使问题转化为对这个整体的研究,这样做,不仅可以摆脱固定模式的束缚.使复杂的问题变得简单,陌生的问题变得熟悉,还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题,从而起到化繁为易的作用学习数学不仅要学习数学知识,更重要的还要学习数学思想,因为数学思想是封学的灵魂,它在指导数学学习和研究中.有着十分重要的作用.在整式的加减一章中,整体思想体现的尤为突出,下面将整式的加减这一章中的数学思想方法加以解读,供参考.【关键词】整体思想解析例题一,整体代入求值例1,已知xy=l,那么整式2x一2y+1的值.分析:本题显然无法直接求出X和Y的具体值,若将x2-y看作一个整体,将它的值整体代入,则问题可以应刃而解.饵:因为2x22y+I=2X2-v)+1,而X2-y=1,所以2x一2y+1=21+1=3说明:由上例可以看出,将它们中的相同部分看成一个整体,用整体代入可以简化解题过程.练习:1,已妞一2x一1=5,那么整式2x24x+3的值?2,已知324x一6=5,那/z,整式X2一x+6的值?03,已知x+一1-0,那么整式x3+2x十3的值?4,已知x=2时8X3+bx+1-6,那么当X-一2时8X3+bx+l的值.二,整体变形求值例2,已知X2+Xy=4,xy+y2=一1,求(1)x2-y(2)x+2xy+y分析:本题虽然已知两个条件,当无法直接求出和Y的具体值,可考虑对整体变形,使它变为所求式子形式,仔细观察,若将第一式,第二式两边相加(相减),即可得所求的式子.解:因为x2+xy=4,xy+y=一1,所以x2-y=(+xy)一(xy+y)=4-(-1)=5,X2+2xy+y=x+xy)+(y+y)=4+一)=3说明:这一类问题,看似复杂吓人,若掌握了整体思想,并不难解.练习1,已知x+xy=5,xy+y=一3,那么整式3x+xy一2y的值?2,已知xZ+xy=2,xy+y=一2,那么整式X2+3xy+2y的值?3,已知2x-3xy=23,4xy+y=9,那么整式8x十13y的值7.4,设甲,乙,丙三数之和为a,甲数与丙数之差为b,则a-b表示什么?(用甲,乙,丙)三,整体合并例3,化简:一2(2x+y)I2x+y)+3(2x+y)+(2x+y)一5分折目前我们对(2x+y)无法展开,从而将(2+y)看成一项,利用整体思想对同类项进行合并.解:一2(2x+y)一I(2+v)-3(2x+y)+(2x+y)-5=(一2+3)(2x+y)+(一+1)(2x+y)一5=(2+y)+一(2+y)一5说明:由于我们所感兴趣的不是x,y的值,而是这个整体,所以目标明确,直奔主题,收到了事半功倍的效果.练习:化简:2(x一2y)L7(x一2y).+3(2y一)22(2yx).在中学数学中,代数式的些习题渗透了整体思想.我们有些学生在用文字语言叙述2a一(3a一2)时常常会叙述成”2a减3a减2”,当我们再把这位同学的文字语言转化成符号语言后却变成283a一2.显然,刚冈9这位同学的回答是错误的,因为这位同学没有理解”2a一(3a一2)”中的(3a2)是一个整体,意识到这一点后,我们就可以正确地叙述为”一次式2a与3a一2的差.在这些数学语言的转换过程中,孕育了基本的数学思想整体思想.当我们在脑海中有了这种意识以后,再做“求2x+y一3与xy+2的差”这类练习时,我们就不会出现“2x+y+3一一y+2”的错误,做起来也就得心应手了.请看整体去括号和整体添括号四,整体去括号倒4,化简:3【,4l,1一1)一8】一(2X-5)分析:如果我们在去括号时,有里往外(先去小括号,再去中括号),计算非常困难,利用整体思想将小括号内的式子看做一个整体,可收到事半功倍.解一【(x一1)一81一(一手一5).=一4丁1X-1)一38+x+5=x-16+x+5=一2133教育观察中括号),而利用整体思想将小括号内的式子看做一个整体,去括号由外往里,可以简化解题过程,从而提高解题的速度和正确率.练>-j:化简:一6【(x+1)一I(2x+x)+一(一5)】00五,整体添括号例5,化简:5(2x+y一5z)一26x一13y+65z分析:直接去括号后再合并同类项也未尝不可,不过仔细观察发现一26x一13y+65z=13(2x+y一5z),将(2x+y一5c)看作一个整体,给解题带来便利.解:5(2x+y一5z)一26x一13y+65z=5(2x+y一5c)一13(2x+y一5z)=-8(2x+y-5z)=一16x-8y40z说明:平时我们一般解题时只考虑去括号,如果我们能根据题目的特点,巧妙处理,逆向思维,尝试用整体添括号的思想去解题,可以简化解题过程.从而提高解题的速度和正确率.练习:化简一4(3x+2yz)一12x一8y+4z六,整体思想其它方面的应用例6,小华写出四个有理数,其中三数之和分别为2,17,一1,一3,那么小华写出的四个有理数的乘积等于分析:按常规,须分别设这四个数为X,Y,Z,t然后列方程组解之.如果我们着眼.整体,先考虑这四个数的和,便可以使问题由原来的求四个未知数变为求一个未知数.(X一2)4-(X一17)4-(x+1)4-(x+3)=,解得x=5故知所求得四个有理数分别为3,一12,6,8,这四个有理数的乘积为3(一12)68=一1728说明:按常规,须分别设这四个数为X,Y,z,t然后列方程组解之.这种解法都较繁杂,而运用.整体.可以巧妙获解我们还没学过它的基本解法,这能另辟蹊径,把所求变形.这也提醒我们,运用.整体.思想,则不仅可以化难为易,且妙趣横生.练习:有一个运算程序,可以使:aOb=n(n为常数)时,得(a+1)b=n+1,a(b+1)=rl一2.现在已知101=2,那么200802008=.重视基础知识,突出能力考察,目前新课改在(整式的加减一章中,关于化简整式或求值等问题中,展示了许许多多活而不难,巧而不偏,富有创造性,有较宽的思维空间且不雷同的数学问题,若把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,把一些紧密联系的相关的式子作为一个整体来处理,常能收到事半功倍的效果,对丰富和提高同学们的思维和创造能力起了很好的作用.由上述数例不难看出,用整体思想解题不仅解题过程简捷明快,而且富有创造性.布鲁纳指出,掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的”光明之路”.数学思想方法是数学的精髓,只有掌握了数学思想方法,才算真正掌握了数学.因而,同学们应用数学思想方法武装自己,使自己真正成为数学的主人.(上接第121页)讲,数学学习中的每步都是一种转化,转化思想是数学中最基本,最重要的一种思想.在运用等价转化的思想方法去解决数学问题时,要合理设计好转化的途径和方法.江苏单招考题也常常考查学生转化的能力.例4:(江苏省2009单招考题13题)设函数fx)=log.(x+b)a>0且a1)的图象过点(0,0)且其反函数(x)的图象过点(2,3),则a+b=.分析:由函数与其反函数之间的关系,将反函数f-1(x)的图象过点(2,3)转化成原函数图像过(3,2)求解.解:略评注:本题运用等价转化思想,避免了求函数的反函数,简化了解题过程.教育观察134例5:(江苏省2009单招考题23题)如图,在正三棱柱ABCABC中,侧棱和底面边长都是2,D是AC的中点.(1)求证:BD上A1D;(2)求直线BA与平面AACC所成角的大小(用反三角函数表示)(3)求点B到平面ABD的距离.分析:证BDJ-A1D,可通过证明BD与A,D所在的平面垂直,由正三棱柱可得平AA,CC平面ABC,BD与交线AC垂直,进而得出BD平面AACC,;求线面所成角的关键是找到线面所成的平面角;求线到面的距离可采用等体积法.解:略点评:本题证线线垂直的的过程中,用到了面面垂直,线面垂直,线线垂直的性质定理和判定定理相互转化的思想方法;通过作线面角,将空间角的问题转化为平面角处理.在单招高考数学中也提出”以能力立意”命