高考数学 第二章 第一节 函数及其表示方法课件 理 苏教版.ppt

第二章函数概念与基本初等函数 导数及其应用第一节函数及其表示方法 1 函数与映射的概念 非空数集 非空集合 每一个 惟一 每一个 元素 惟一 2 函数的构成要素 1 三要素 定义域 值域 2 函数的定义域 值域 定义域 是在函数y f x x a中 所有的 组成的集合 值域 是所有 组成的集合 满足对于a中的每一个输入值x 都有一个 与之对应 3 函数的表示方法函数的表示方法有 法 法 法 输入值x 输出值y 输出值y 解析 列表 图象 4 分段函数若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数虽然由几部分组成 但它表示的是一个函数 对应法则 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 对于函数f a b 其值域是集合b 2 函数y 1与y x0不是同一个函数 3 若两个函数的定义域与值域相同 则这两个函数是同一函数 4 映射是特殊的函数 解析 1 错误 值域是集合b的子集 2 正确 函数y x0的定义域是 0 0 函数y 1的定义域是r 因此两个函数是不同的函数 3 错误 当两个函数的定义域相同并且对应法则完全一致时 这两个函数是同一函数 4 错误 根据函数和映射的定义知函数是特殊的映射 答案 1 2 3 4 1 如图所示的图象所表示的函数解析式为 解析 当0 x 1时 y 当1 x 2时 y 3 函数解析式为答案 2 给出四个命题 函数是其定义域到值域的映射 f x 是一个函数 函数y 2x x n 的图象是一条直线 f x 与g x x是同一函数 其中正确的有 个 解析 由函数的定义知 正确 因为使成立的x值不存在 故 不正确 y 2x x n 的图象是位于直线y 2x上的一群孤立的点 故 不正确 函数f x 与g x x的定义域不同 故 不正确 答案 1 3 函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 则其值域为 解析 列表如下由表知 函数的值域为 1 0 3 答案 1 0 3 4 函数y 的定义域为 解析 由得函数的定义域为 x x 1且x 0 答案 x x 1且x 0 5 设函数f x 则f f 4 解析 x 40 所以f 16 4 答案 4 考向1求函数的定义域 典例1 1 2013 徐州模拟 函数f x 的定义域是 2 已知函数f 2x 的定义域是 1 1 则f x 的定义域为 思路点拨 1 根据解析式 构建使解析式有意义的不等式组求解即可 2 要明确2x与f x 中x的含义 从而构建不等式求解 规范解答 1 要使函数有意义 必须所以函数的定义域为 2 3 3 4 答案 2 3 3 4 2 f 2x 的定义域为 1 1 即 1 x 1 2x 2 故f x 的定义域为 2 答案 2 互动探究 若本例题 2 中条件不变 试求f log2x 的定义域 解析 由本例题 答案知f x 的定义域为 2 函数y f log2x 中 log2x 2 即log2 log2x log24 x 4 故函数f log2x 的定义域为 4 拓展提升 简单函数定义域的类型及求法 1 已知函数的解析式 则构造使解析式有意义的不等式 组 求解 2 对实际问题 由实际意义及使解析式有意义的条件构成的不等式 组 求解 3 对抽象函数 若已知函数f x 的定义域为 a b 则复合函数f g x 的定义域由a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 提醒 求定义域时对解析式不要进行化简 否则可能致使化简前后的定义域不相同 变式备选 1 函数f x 的定义域是 解析 要使函数有意义 必须有即 3 x 0或2 x 3 答案 3 0 2 3 2 已知函数f x 的定义域为 1 2 则函数g x 的定义域是 解析 由使函数有意义及f x 的定义域可知 x 1 答案 1 考向2求函数的解析式 典例2 1 已知f 1 cosx sin2x 则f x 2 已知f x 是二次函数且f 0 2 f x 1 f x x 1 则f x 3 已知f x 2f x x 0 f x 思路点拨 1 用换元法 令t 1 cosx 然后求解 2 已知函数类型 用待定系数法求解 3 用代x 构造方程组求解 规范解答 1 f 1 cosx sin2x 1 cos2x 令t 1 cosx 则cosx 1 t 0 t 2 f t 1 1 t 2 t2 2t f x x2 2x 0 x 2 答案 x2 2x 0 x 2 2 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 2 得c 2 f x 1 f x a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即2ax a b x 1 解得a b f x 答案 3 f x 2f x f 2f x 答案 x 0 拓展提升 求函数解析式的四种常用方法 1 配凑法 由已知条件f g x f x 可将f x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的表达式 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意 新元 的取值范围 4 解方程组法 已知关于f x 与f 或f x 的表达式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 变式训练 1 求下列函数的解析式 已知f 1 lgx 求f x 2f x f x lg x 1 求f x 2 已知函数y f x 的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成 求函数的解析式 解析 1 令t 1 则x f t 即f x x 1 2f x f x lg x 1 2f x f x lg 1 x 解方程组得f x lg x 1 lg 1 x 1 x 1 2 根据图象 设左侧的射线对应的解析式为y kx b x 1 点 1 1 0 2 在射线上 左侧射线对应的函数解析式为y x 2 x 1 同理 x 3时 函数的解析式为y x 2 x 3 再设抛物线对应的二次函数解析式为y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 点 1 1 在抛物线上 a 2 1 a 1 1 x 3时 函数的解析式为y x2 4x 2 1 x 3 综上 函数的解析式为y 考向3分段函数及其应用 典例3 1 2013 徐州模拟 定义在r上的函数则f 2013 的值为 2 已知函数f x 则f x f x 1的解集为 思路点拨 1 将2013代入x 0时的解析式 将自变量的值化到x 0即可求解 2 分 1 x 0和0 x 1两种情况求解 规范解答 1 f 2013 f 2012 f 2011 f 2011 f 2010 f 2011 f 2010 f 2009 f 2008 f 2008 f 2007 f 2008 f 2007 f 3 f 2 f 1 f 1 f 0 f 1 f 0 log21 0 答案 0 2 当 1 x 0时 0 x 1 此时f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 2x 2 1 得x 则 1 x 当0 x 1时 1 x 0 此时 f x x 1 f x x 1 x 1 f x f x 1化为 x 1 x 1 1 解得x 则0 x 1 故所求不等式的解集为 1 0 1 答案 1 0 1 互动探究 本例题 2 中条件不变 若f a f 1 0 试求a的值 解析 f 1 1 1 0 f a f 1 0 若 1 a 0 则f a a 1 0 a 1 若0 a 1 则a 1 综上知 a 1 拓展提升 分段函数 两种 题型的求解策略 1 根据分段函数解析式求函数值应首先确定自变量的值属于哪个区间 然后选定相应的解析式代入求解 2 已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 提醒 与分段函数相关的求值 求范围问题应逐段研究 变式备选 设函数f x 若f 2 f 0 f 1 3 则关于x的方程f x x的解的个数为 解析 由已知得当x 0时 由f x x得 x2 2x 2 x 得x 2或x 1 又x 0 故x 1舍去 当x 0时 由f x x得x 2 所以方程f x x有两个解 答案 2 易错误区 忽视自变量的取值范围致误 典例 2013 南京模拟 已知实数a 0 函数f x 若f 1 a f 1 a 则a的值为 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为1 a1 没有对a进行讨论直接代入求解 2 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 规范解答 当a 0时 1 a1 由f 1 a f 1 a 可得2 2a a 1 a 2a 解得a 不合题意 当a1 1 a 1 由f 1 a f 1 a 可得 1 a 2a 2 2a a 解得a 答案 思考点评 1 分类讨论思想在求函数值中的应用分段函数中分类讨论的核心是确定自变量的范围 及对应的解析式 2 检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中 求出的参数的值或范围并不一定符合题意 因此要检验结果是否符合要求 1 2012 山东高考改编 函数f x 的定义域为 解析 因为解得 2 x 2且x 1且x 0 所以定义域为 1 0 0 2 答案 1 0 0 2 2 2012 安徽高考改编 下列函数中 不满足f 2x 2f x 的是 f x x f x x x f x x 1 f x x 解析 f 2x 2x 2 x 2f x 满足要求 f 2x 2x 2x 2 x x 2f x 满足要求 f 2x 2x 1 2 x 1 2f x 不满足要求 f 2x 2x 2f x 满足要求 答案 3 2012 福建高考改编 设f x 则f g 的值为 解析 因为 为无理数 所以g 0 f g f 0 0 答案 0 4 2013 盐城模拟 已知函数f x 若f f 1 3a2 则a的取值范围是 解析 f 1 21 1 3 f f 1 f 3 9 6a 9 6a 3a2 即a2 2a 3 0 解得 1 a 3 答案 1 3 1 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但定义域不同 则称这些函数为 孪生函数 例如 解析式为y 2x2 1 值域为 9 的 孪生函数 有三个 1 y 2x2 1 x 2 2 y 2x2 1 x 2 3 y 2x2 1 x 2 2 那么