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第七章不等式 高考文数 7 4不等式的综合应用 知识清单 考点不等式的综合应用1 利用基本不等式求最值若p k为常数 则 1 若a b k 则当且仅当a b时 a b有最小值2 a 0 b 0 2 若a b p 则当且仅当a b时 a b有最大值 a 0 b 0 2 利用不等式解决实际问题 1 解答不等式应用题 要认真审题 分清题意 建立合理的不等式模型 2 不等式问题中蕴含着丰富的函数思想 是不等式与函数的结合点 又是数学知识与数学方法的交会点 处理不等式问题 常常离不开函数的图象与性质 如函数的定义域 值域 最大值 最小值 单调性等 而数形结合思想 分类讨论思想 等价转换思想等则贯穿于解题的始终 应深入领悟 不等式与函数 方程 数列的综合问题1 利用不等式的性质 不等式的证明方法 解不等式等知识可以解决函数中的有关问题 主要体现在 利用不等式求函数的定义域 值域 最值 证明单调性等 2 利用函数 方程 不等式之间的关系 可解决一元二次方程根的分布问题 3 不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中 主要体现在比较数列中两项的大小的问题中 4 应用基本不等式解决实际问题的步骤 1 仔细阅读题目 透彻理解题意 2 分析实际问题中的数量关系 引入未知数 并用它表示其他的变量 方法技巧 把要求最值的变量设为函数 3 应用基本不等式求出函数的最值 4 还原实际问题 作出解答 例 2016江苏无锡模拟 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池 池的深度一定 池的四周墙壁建造单价为每米400元 中间一条隔壁 与长边垂直 建造单价为每米100元 池底建造单价为每平方米60元 池壁厚度忽略不计 1 污水处理池的长设计为多少米时 可使总造价最低 2 如果受地形限制 污水处理池的长 宽都不能超过14 5米 那么此时污水处理池的长设计为多少米时 可使总造价最低 解析 1 设污水处理池的长为x米 则宽为米 不妨设池深为1米 总造价f x 400 100 60 200 800 12000 1600 12000 36000 当且仅当x x 0 即x 15时等号成立 故污水处理池的长设计为15米时 可使总造价最低 2 记g x x 由已知得解得 x 14 5 显然g x 是减函数 所以x 14 5时 g x 取最小值 总造价f x 取最小值 故污水处理池的长设计为14 5米时
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