高考数学大一轮复习 第六章 数列 高考专题突破三 高考中的数列问题课件 文 北师大版.ppt

高考中的数列问题 高考专题突破三 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2017 洛阳模拟 已知等差数列 an 的公差和首项都不等于0 且a2 a4 a8成等比数列 则等于a 2b 3c 5d 7 a1 3d 2 a1 d a1 7d d2 a1d 1 2 4 5 解析 3 答案 1 2 4 5 3 解析设等差数列 an 的首项为a1 公差为d an a1 n 1 d n 1 2 4 5 3 解析 3 若a b是函数f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且a b 2这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则p q的值等于a 6b 7c 8d 9 答案 1 2 4 5 3 解析由题意知a b p ab q p 0 q 0 a 0 b 0 在a b 2这三个数的6种排序中 成等差数列的情况有 a b 2 b a 2 2 a b 2 b a 成等比数列的情况有 a 2 b b 2 a p 5 q 4 p q 9 故选d 解析 答案 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 解析 an 是等比数列 bn 是等差数列 解析 1 2 4 5 3 答案 4 1 2 4 5 3 an 2an 1 又a1 1 an 是以 1为首项 以 2为公比的等比数列 an 2 n 1 由1 sk 9 得4 2 k 28 又k n k 4 题型分类深度剖析 例1 2016 四川 已知数列 an 的首项为1 sn为数列 an 的前n项和 sn 1 qsn 1 其中q 0 n n 1 若a2 a3 a2 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 题型一等差数列 等比数列的综合问题 解答 解由已知 sn 1 qsn 1 得sn 2 qsn 1 1 两式相减得an 2 qan 1 n 1 又由s2 qs1 1得a2 qa1 故an 1 qan对所有n 1都成立 所以数列 an 是首项为1 公比为q的等比数列 从而an qn 1 由a2 a3 a2 a3成等差数列 可得2a3 a2 a2 a3 所以a3 2a2 故q 2 所以an 2n 1 n n 解答 解由 1 可知 an qn 1 1 1 1 q2 1 q2 n 1 n 1 q2 q2 n 1 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 为最终解决问题设置中间问题 例如求和需要先求出通项 求通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 解答 跟踪训练1 2018 沧州模拟 已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为sn n n 且s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解设等比数列 an 的公比为q 因为s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 所以s5 a5 s3 a3 s4 a4 s5 a5 即4a5 a3 解答 当n为奇数时 sn随n的增大而减小 当n为偶数时 sn随n的增大而增大 题型二数列的通项与求和 例2 2018 邢台模拟 已知等差数列 an 的公差为2 前n项和为sn 且s1 s2 s4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 解答 1 一般求数列的通项往往要构造数列 此时从要证的结论出发 这是很重要的解题信息 2 根据数列的特点选择合适的求和方法 常用的求和方法有错位相减法 分组转化法 裂项相消法等 证明 2 求数列 an 的通项公式与前n项和sn 解答 题型三数列与其他知识的交汇 命题点1数列与函数的交汇例3 2018 长春模拟 设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图像上 n n 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图像上 求数列 an 的前n项和sn 解答 解答 解f x 2xln2 f a2 故函数f x 2x在 a2 b2 处的切线方程为y x a2 解得a2 2 所以d a2 a1 1 命题点2数列与不等式的交汇例4 2016 天津 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 证明 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差数列 证明 命题点3数列应用题例5某企业为了进行技术改造 设计了两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比前一年增加5千元 两种方案的使用期都是10年 到期一次性归还本息 若银行两种形式的贷款都按年息5 的复利计算 试比较两种方案中哪种获利更多 参考数据 取1 0510 1 629 1 310 13 786 1 510 57 665 解答 解甲方案中 每年所获利润组成等比数列 首项为1 公比为 1 30 所以10年所获得的总利润为s10 1 1 30 1 30 2 1 30 9 贷款到期时 需要偿还银行的本息是10 1 5 10 16 29 万元 故使用甲方案所获纯利润为42 62 16 29 26 33 万元 乙方案中 每年的利润组成等差数列 首项为1 公差为0 5 所以10年所获得的总利润为t10 1 1 0 5 1 2 0 5 1 9 0 5 故使用乙方案所获纯利润为32 5 13 21 19 29 万元 综上可知 甲方案获利更多 故贷款到期时 需要偿还银行的本息是1 1 5 10 1 5 9 1 5 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1 数列与函数的交汇问题 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图像研究数列问题 已知数列条件 解决函数问题 解题时要注意数列与函数的内在联系 掌握递推数列的常见解法 2 数列与不等式的交汇问题 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 比较方法 作差或者作商比较 3 数列应用题 根据题意 确定数列模型 准确求解模型 问题作答 不要忽视问题的实际意义 1 求数列 an 的通项公式 解答 解f x 2ax b 由题意知b 2n 16n2a 4nb 0 又f x x 2n 当n 1时 a1 4也符合 解答 tn b1 b2 bn 课时作业 解当n 2时 4s4 5s2 8s3 s1 基础保分练 1 2 3 4 5 6 解答 证明 1 2 3 4 5 6 证明因为4sn 2 5sn 8sn 1 sn 1 n 2 所以4sn 2 4sn 1 sn sn 1 4sn 1 4sn n 2 即4an 2 an 4an 1 n 2 1 2 3 4 5 6 所以n 1也满足此式 所以4an 2 an 4an 1 n n 1 2 3 4 5 6 解答 3 求数列 an 的通项公式 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解答 1 2 3 4 5 6 2 2017 福建漳州八校联考 已知递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2和a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 an 是递增数列 a1 2 q 2 数列 an 的通项公式为an 2 2n 1 2n 2 若bn anan sn b1 b2 bn 求使sn n 2n 1 62成立的正整数n的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 sn b1 b2 bn 1 2 2 22 n 2n 则2sn 1 22 2 23 n 2n 1 得sn 2 22 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 则sn n 2n 1 2n 1 2 解2n 1 2 62 得n 5 n的最小值为6 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 解设正项等差数列 an 的首项为a1 公差为d 且an 0 解答 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解 bn 1 bn an 1且an 2n 1 n n bn 1 bn 2n 3 当n 2时 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 1 5 3 n n 2 当n 1时 b1 3满足上式 bn n n 2 1 2 3 4 5 6 4 2018届广州海珠区综合测试 已知数列 an 的首项a1 1 前n项和为sn an 1 2sn 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 解由题意得an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2 sn sn 1 2an 则an 1 3an n 2 所以当n 2时 an 是以3为公比的等比数列 1 2 3 4 5 6 an 是首项为1 公比为3的等比数列 所以an 3n 1 解答 2 设bn log3an 1 求数列 an bn 的前n项和tn 1 2 3 4 5 6 解bn log3an 1 log33n n 所以an bn 3n 1 n tn 30 1 31 2 32 3 3n 2 n 1 3n 1 n 30 31 32 3n 2 3n 1 1 2 3 n 1 n 技能提升练 1 2 3 4 5 6 5 2017 济宁模拟 已知sn是正项数列 an 的前n项和 且2sn a an 等比数列 bn 的公比q 1 b1 2 且b1 b3 b2 10成等差数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 解当n 2时 由题意得 an an 1 an an 1 1 0 an 是正项数列 an an 1 0 an an 1 1 a1 0 a1 1 数列 an 是首项为1 公差为1的等差数列 an 1 n 1 1 n 由b1 2 2b3 b1 b2 10 得2q2 q 6 0 解答 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 记w2n 1 2 2 22 2n 22n 则2w2n 1 22 2 23 2n 22n 1 1 2 3 4 5 6 w2n 2n 1 22n 1 2 解答 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 1 求数列 an bn 的通项公式 1 2 3 4 5 6 解由