数学竞赛线性规划训练讲义(含详细答案).doc

数学竞赛训练讲义一、选择题1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、设 ，又记则（ ）、； 、 ； 、； 、；3、设为锐角，则的大小顺序为（ ）、； 、 ； 、； 、；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）、 、； 、； 、.二、填空题7、若实数满足：，则 .8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 9、计算 .10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 三、解答题13、数列满足：；令；求 15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、为互不相等的正数，则下列关系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，则，不合条件，排除，又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，故选2、设 ，又记则（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，据此，因为型，故选.3、设为锐角，则的大小顺序为（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种.5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为，则其侧面与底面的夹角为( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：设底面正方形边长为，棱锥的高为，侧面三角形的高为，则 ，则，.6、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，；从而二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、若实数满足：，则 .答案：； 解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；8、抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为 答案：；解：设抛物线方程为，则顶点及焦点坐标为，若设点坐标为，则，故（当或时取等号）9、计算 .答案：. 解：10、过直线：上的一点作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为，则椭圆的方程为 .答案：；解：设直线上的点为，取关于直线的对称点，据椭圆定义， ，当且仅当共线，即，也即时，上述不等式取等号，此时，点坐标为，据得，椭圆的方程为.11、把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .答案：；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合；所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，合计个四面体.12、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 答案：； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；，位好数有个；，记，因，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列满足：；令；求 解：改写条件式为，则，所以，；15、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数 解：称为的数码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个以上共计个三、当数码组恰含三个值，、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有