ZXXKCOM201309142358054513561.doc

2012-2013学年江苏省宿迁中学高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，B=2，3，则（UA）B=3考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：找出U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出A补集与B的公共元素，即可求出所求的集合解答：解：U=1，2，3，4，5，A=1，2，UA=3，4，5，又B=2，3，则（UA）B=3故答案为：3点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）若复数z满足z=（3z）i（i是虚数单位），则复数z的虚部是考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：由原式变形可得z=，然后分子分母同乘以分母的共轭复数（1i）化简即可的答案解答：解：由题意可得：z=（3z）i=3izi，故（1+i）z=3i，即z=，即其虚部为：故答案为：点评：本题为复数的代数运算，涉及复数的实虚部，属基础题3（5分）（2011盐城模拟）4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：计算题分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4张中随机的抽2张，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的卡片上的数之差的绝对值等于2，有2种结果，要求的概率是=故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果4（5分）已知，且sin（）=，则cos=1考点：两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：由的范围求出的范围，根据sin（）=，利用特殊角的三角函数值求出的值，代入所求式子中即可求出cos的值解答：解：，又sin（）=，=，即=，则cos=cos=1故答案为：1点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键5（5分）已知向量=（3，2），=（1，0），且向量与垂直，则实数的值为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可解答：解：由题意=（31，2），=（1，2）与垂直，=（31）（1）+22=7+1=0，解得，故答案为：点评：本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题6（5分）函数y=x2lnx的单调减区间为（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2lnx的导数，再解不等式f（x）0，可得出函数的单调减区间解答：解：求出函数f（x）=x2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f（x）0，得（0，2）因为函数的定义域为（0，+）所以函数的单调减区间为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误7（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f（x）=f（x+4），当 x（2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）f（2011）的值为考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据题意，可得函数f（x）是周期为4的函数，所以f（2012）=f（0）=0，f（2011）=f（1）=21，从而得出f（2012）f（2011）的值解答：解：对任意xR都有f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期为4的函数故f（2012）=f（0），f（2011）=f（1）又f（x）是定义在R上的奇函数，且当 x（2，0）时，f（x）=2x，f（0）=0，f（1）=21=因此f（2012）f（2011）=0=故答案为：点评：本题给出具有周期的奇函数，求给定的函数值，着重考查了函数的奇偶性和周期性等知识点，属于基础题8（5分）若数an中，an=，其前n项的和是，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为9考点：数列的求和；直线的截距式方程专题：综合题；等差数列与等比数列分析：数列an中，an=，故Sn=，由an前n项的和是，解得n=9由此能求出直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距解答：解：数列an中，an=，Sn=a1+a2+a3+an=（1）+（）+（）+（）=1=，an前n项的和是，=，n=9直线（n+1）x+y+n=0为10x+y+9=0，x=0时，y=9，直线（n+1）x+y+n在y轴上的截距为9故答案为：9点评：本题考查直线在y轴上截距的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用9（5分）下列四个命题中，真命题的序号是mR，使f（x）=（m1）是幂函数；“若am2bm2，则ab”的逆命题为真；a0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点；命题“xR，都有x23x20”的否定是“xR，使得x23x20”考点：全称命题；命题的否定专题：证明题分析：根据幂函数的一般形式，当m1=1，即m=2函数为幂函数，进而可判断的真假；令m=0，根据不等式的性质，可判断的真假；根据韦达定理及换元思想，可判断a0，ln2x+lnxa=0有两个不等的实根，进而根据方程根与对应函数零点之间的关系，可判断的真假；根据全称命题的否定方法，求出已知命题的否定，比照后可得的真假解答：解：当m=2时，f（x）=（m1）是幂函数，故正确；“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”在m=0时不成立，故错误；a0，ln2x+lnxa=0有两个不等的实根，故函数f（x）=ln2x+lnxa有两个零点，故正确；命题“xR，都有x23x20”的否定是“xR，使得x23x20”，故错误故答案为：点评：本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，幂函数，四种命题，函数的零点，是必修一知识点的综合应用，熟练掌握上述基础知识，真正理解是解答的关键10（5分）已知B为双曲线（a0，b0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得解答：解：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题11（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，则实数a的取值范围是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：由直线y=x+b得直线斜率为1，直线y=x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为1，即f（x）1，求导函数，并求出其范围3a，+），得不等式3a1，即得实数a的取值范围解答：解：设f（x）=x33ax，求导函数，可得f（x）=3x23a3a，+），存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，13a，+），3a1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）当且仅当arb时，在圆x2+y2=r2（r0）上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1，则a+b的值为2考点：直线与圆相交的性质专题：直线与圆分析：求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，（差的绝对值大于1时，圆上没有点到直线2x+y+5=0的距离等于1或有4个点满足到直线2x+y+5=0的距离等于1），求出r的范围，得到a与b的值，即可求出a+b的值解答：解：圆心O（0，0）到直线2x+y+5=0的距离d=，圆x2+y2=r2（r0）上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1，|dr|1，即|r|1，解得：1r+1，a=1，b=+1，则a+b=2故答案为：2点评：本题考查圆心到直线的距离公式的应用，注意题目条件的转化是解题的关键，考查计算能力13（5分）（2008天津）设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logax+logay=c，这时，a的取值的集合为2考点：对数的运算性质；函数单调性的性质专题：计算题；压轴题分析：由logax+logay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解解答：解：logax+logay=c，=cxy=ac得，单调递减，所以当xa，2a时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为2故答案为：2点评：本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力14（5分）已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c0（ab）的解集为R，则M=的最小值是2+5考点：基本不等式；二次函数的性质专题：计算题分析：由题意可得4acb2，而M=，令，M可化为M=（t1）+5，下由基本不等式可得解答：解：由题意，ax2+bx+c0（ab）的解集为R，则必有=b24ac0，a0，即4acb2对于M=，分子、分母同乘a可得，M=令，ab，a0，t1，故M=（t1）+5=，当且仅当t=，即b=（）a时等号成立，故答案为：点评：本题为基本不等式求最值，涉及二次不等式恒成立以及代数式的变形，属基础题二解答题：本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（14分）设函数f（x）=sin（2x+）+cos2x+sinxcosx（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期（2）设A，B，C为ABC的三个内角，若cosB=，f（）=，求sinA考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）+，由此求出函数f（x）的最大值以及最小正周期（2）根据cosB=，f（）=，求出C=，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，运算求得结果解答：解：（1）函数f（x）=sin（2x+）+cos2x+sinxcosx=sin2x+cos2x+sin2x =sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，所以函数f（x）的最大值是，最小正周期为（2）f（）=2sin（C+）+=，所以，2sin（C+）=1，又C为ABC的内角，所以C=又因为在ABC 中，cosB=，所以，sinB=，所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的值域，属于中档题16（14分）如图，四边形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB=AB=2MA求证：（1）平面AMD平面BPC；（2）平面PMD平面PBD考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定专题：证明题；转化思想分析：（1）平面AMD内的直线MA，平行平面BPC内的直线PB，即可证明平面AMD平面BPC；（2）连接AC，设ACBD=E，取PD中点F，连接EF，MF证明MF平面PBD，从而证明平面PMD平面PBD解答：证明：（1）因为PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA因PB平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA平面BPC同理DA平面BPC，因为MA平面AMD，AD平面AMD，MAAD=A，所以平面AMD平面BPC（6分）（2）连接AC，设ACBD=E，取PD中点F，连接EF，MF因ABCD为正方形，所以E为BD中点因为F为PD中点，所以EFPB因为AMPB，所以AMEF所以AEFM为平行四边形所以MFAE因为PB平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE所以MFPB因为ABCD为正方形，所以ACBD所以MFBD所以MF平面PBD又MF平面PMD所以平面PMD平面PBD（14分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题17（14分）（2013绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入年总成本）考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义专题：分类讨论分析：（1）由年利润W=年产量x每千件的销售收入为R（x）成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果解答：解：（1）当；当x10时，W=xR（x）（10+2.7x）=982.7xW=（2）当0x10时，由W=8.1=0，得x=9，且当x（0，9）时，W0；当x（9，10）时，W0，当x=9时，W取最大值，且当x10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38综合知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大点评：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者18（16分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an，n=1，2，3，（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；（3）设cn=n （3bn），求数列cn的前n项和为Tn考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式专题：计算题分析：（1）利用数列中an与 Sn关系解决（2）结合（1）所求得出bn+1bn=利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3bn）=，利用错位相消法求和即可解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1因为Sn=2an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2两式相减：an+1an+Sn+1Sn=0，即an+1an+an+1=0，故有2an+1=an因为an0，所以=（ nN*）所以数列an是首项a1=1，公比为的等比数列，an=（ nN*）（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，），所以bn+1bn=从而有b2b1=1，b3b2=，b4b3=，bnbn1=（ n=2，3，）将这n1个等式相加，得bnb1=1+=2又因为b1=1，所以bn=3（ n=1，2，3，）（3）因为cn=n （3bn）=，所以Tn= = ，得=故Tn=8=8（ n=1，2，3，）点评：本题考查利用数列中an与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力19（16分）已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=4为准线的椭圆（）求椭圆的标准方程；（）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程专题：综合题分析：（）设椭圆的标准方程为，则，由此能求出椭圆方程（）设M（4，m），则圆K方程为，与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，由，知（x1+2，y1）=3（2x2，y2），由此入手能够求出弦PQ的长解答：解：（）设椭圆的标准方程为，则：，从而：，故b=2，所以椭圆的标准方程为（3分）（）设M（4，m），则圆K方程为与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4xmy+8=0，过定点E（2，0）（7分）（）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，（x1+2，y1）=3（2x2，y2），即：，代入解得：（舍去正值），kPQ=1，所以PQ：xy+2=0，从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=，点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化20（16分）已知（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x22x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）当nN*，n2时，求证：考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系专题：常规题型；压轴题；转化思想分析：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值f（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1（a，a+1）（2）构造函数g（x）=x22x+k，若关于x的方程f（x）=x22x+k有实数解f（x）=g（x）有实数解g（x）min=g（1）f（x）max（法二）由f（x）=x22x+k分离系数k=，构造函数h（x）=，由题意可得，kh（x）max（3）结合函数f（x）在（1，+）上的单调性可得，f 1+，利用该结论分别把n=1，2，3，代入叠加可证解答：解：（1），当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0；函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+）为减函数（3分）当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值，解得0a1（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x22x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k1，又因为方程f（x）=x22x+k有实数解，那么k11，即k2，所以实数k的取值范围是：k2解法二：f（x）=x22x+k，令h（x）=，所以h（x）=+22x，当x=1时，h（x）=0当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2当方程f（x）=x22x+k有实数解时，k2）（3）函数f（x）在区间（1，+）为减函数，而，即lnn=ln2ln1+ln3ln2+lnnln（n1）而nf（n）=1+lnn，结论成立点评：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用21（10分）已知矩阵A=，向量=求向量，使得A2=考点：矩阵变换的性质专题：计算题分析：由已知中A=，=，设向量=则由矩阵变换法则，可得一个关于x，y的方程组，解得向量解答：解：A=，A2=（4分）设=，则=A2=，即=即=（8分）解得：= （10分）点评：本题考查的知识点是矩阵变换的性质，其中根据矩阵变换法则，设出向量后，构造关于x，y的方程组，是解答的关键22（10分）（极坐标与参数方程）在极坐标系（，）（02）中，求曲线=2sin与cos=1的交点Q的极坐标考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：先将原极坐标方程=2sin与cos=1（0）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标解答：解：将直线cos=1与圆=2sin分别化为普通方程得，直线x=1与圆x2+（y1）2=1，（6分）易得直线x=1与圆x2+（y1）2=1切于点Q（1，1），所以交点Q的极坐标是（10分）点评：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力23（10分）用数学归纳法证明：+（n1，且nN*）考点：数学归纳法专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：先证明