高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第5讲 函数的单调性与最值优选课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第5讲函数的单调性与最值 栏目导航 1 增函数与减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 1 如果对于定义域i内某个区间d上的 自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说函数f x 在区间d上是 任意两个 增函数 任意两个 减函数 2 单调性与单调区间如果函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 区间d叫做y f x 的 3 函数的最大值与最小值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 2 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么 我们称m是函数y f x 的最小值 单调性 单调区间 f x m f x0 m f x m f x0 m 4 函数单调性的常用结论 解析 1 错误 一个函数有多个单调区间时应分开表示 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 2 错误 f x 在区间 a b 上是递增的并不能排除f x 在其他区间上单调递增 而f x 的单调递增区间为 a b 意味着f x 在其他区间上不可能是递增的 3 错误 举反例 设f x x g x x 2都是定义域r上的增函数 但是f x g x x2 2x在r上不是增函数 4 正确 易知函数y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 由对称性可知结论正确 2 下列函数中 定义域是r且为增函数的是 a y e xb y x3c y lnxd y x 解析由所给选项知只有y x3的定义域是r且为增函数 故选b 3 若函数y ax 1在 1 2 上的最大值与最小值的差为2 则实数a的值是 a 2b 2c 2或 2d 0解析当a 0时 由题意得2a 1 a 1 2 则a 2 当a 0时 a 1 2a 1 2 即a 2 所以a 2 故选c b c 2 5 设a为常数 函数f x x2 4x 3 若f x a 在 0 上是增函数 则a的取值范围是 解析 f x x2 4x 3 x 2 2 1 f x a x a 2 2 1 且当x 2 a 时 函数f x a 单调递增 2 a 0 a 2 2 对于给出具体解析式的函数 证明其在某区间上的单调性有两种方法 1 可以利用定义 基本步骤为取值 作差或作商 变形 判断 求解 2 可导函数则可以利用导数判断 但是 对于抽象函数单调性的证明 只能采用定义法进行判断 一判断 或证明 函数的单调性 二求函数的单调区间 求函数单调区间的常用方法 1 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 2 定义法 先求定义域 再利用单调性的定义求单调区间 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数值的正负确定函数的单调区间 注意 单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分开写 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 只能用 或 和 隔开 三求函数的最值 值域 求函数最值 值域 的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 值域 2 图象法 数形结合法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 值域 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 值域 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 值域 2 1 四函数单调性的应用 1 含 f 不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为f g x f h x 的形式 然后根据函数的单调性去掉 f 转化为具体的不等式 组 此时要注意g x 与h x 的取值应在外层函数的定义域内 2 比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择题 填空题能数形结合的尽量用图象法求解 3 求参数的值或取值范围的思路 根据其单调性直接构建参数满足的方程 组 不等式 组 或先得到其图象的升降 再结合图象求解 求参数时需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 c d 1 若函数f x loga 6 ax 在 0 2 上为减函数 则实数a的取值范围是 a 0 1 b 1 3 c 1 3 d 3 解析因为函数f x loga 6 ax 在 0 2 上为减函数 则有a 1且6 2a 0 解得1 a 3 故选b b a 6 4 函数f x x3 ax2 1在 0 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 3 错因分析 求函数的单调区间 首先要求函数的定义域