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彰显数学魅力！演绎网站传奇！利用反证法证明有关异面直线问题反证法在立体几何中用得较多，下面用反证法证明有关异面直线问题。例1 求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。 证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为，由，知，故。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC和BD是异面直线。 例2 已知a与b是异面直线，求证过a且平行于b的平面只有一个。 证明：如图1，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个和。在直线a上取点A，过b和A确定一个平面，且与，分别交于过A点的直线c、d。由b/，知b/c。同理b/d。故c/d，这与c、d相交于点A矛盾。 故假设不成立。从而过a且平行于b的平面只有一个。例3 平面平面= a，异面直线b，c ，分别在、内求证b，c中至少有一条与a相交若ab = P，ca = Q，在内过P作异于a的直线，在内过Q 作异于a的直线，求证：，为异面直线证明：若b、c均不与a相交 a，b，ab， a，c，ac，bc，与题设b，c 为异面直线矛盾即b，c中至少有一条与a相交若，在同一平面内，即，Q，Q，又Q（ 若Q，由P，则与a重合，与题设矛盾），过及Q可确定平面（即为），但，及Q，从而得、重合，同理、重合，由此得、重合，与题设= a矛盾所以，不可能在同一平面内，即，为异面直线例4 求证：两条异面直线有且只有一条公垂线 证明：如图，设a、b是异面直线，b，a，是过 a而与垂直的平面，AA是a、b的公垂线假设EF也是a、b的公垂线（显然F与A不重合，E与A不重合），则EF， 从而EF由A、F都在内，可得b，这与a、b是异面直线矛盾所以，两条异面直线有且只有一条公垂线PbEBDAca例5 如图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec，求证：BD和AE是异面直线证明：设BD和AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面，因此有A，B，E，D因为Aa，Da，所以a又因为Pa，所以P因Pb，Bb，所以b因Ec，Pc，所以c，这与a、b、c不共面矛
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