山东省高考数学二轮复习 （研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升） 第一部分 专题二 函数与导数 123第三讲 导数的应用课件 理.ppt

第三讲导数的应用 导数的几何意义 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 f x0 x x0 已知函数f x x3 x 1 求曲线y f x 的过点 1 0 的切线方程 2 若过x轴上的点 a 0 可以作曲线y f x 的三条切线 求a的取值范围 解析 1 由题意得f x 3x2 1 曲线y f x 在点m t f t 处的切线方程为y f t f t x t 即y 3t2 1 x 2t3 将点 1 0 代入切线方程得2t3 3t2 1 0 解得t 1或 代入y 3t2 1 x 2t3得曲线y f x 的过点 1 0 的切线方程为y 2x 2或y x 2 由 1 知若过点 a 0 可作曲线y f x 的三条切线 则方程2t3 3at2 a 0有三个相异的实根 记g t 2t3 3at2 a 则g t 6t2 6at 6t t a 当a 0时 函数g t 的极大值是g 0 a 极小值是g a a3 a 要使方程g t 0有三个相异的实数根 需使a 0且 a3 a0且a2 1 0 即a 1 当a 0时 函数g t 单调递增 方程g t 0不可能有三个相异的实数根 当a0 即a0 即a 1 综上所述 a的取值范围是 1 1 函数的单调性与导数的关系在区间 a b 内 如果f x 0 那么函数f x 在区间 a b 上单调递增 如果f x 0 那么函数f x 在区间 a b 上单调递减 例2 2012年高考山东卷改编 已知函数f x k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 由于曲线y f x 在 1 f 1 处的切线与x轴平行 所以f 1 0 因此k 1 2 由 1 得f x 1 x xlnx x 0 令h x 1 x xlnx x 0 当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 所以当x 0 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 因此f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 1 当a 0时 y ax2 2x 1为开口向上的抛物线 所以ax2 2x 1 0在 0 上恒有解 2 当a0 此时 1 a 0 3 当a 0时 显然符合题意 综上所述 实数a的取值范围是 1 1 求函数y f x 在某个区间上的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根x0 3 检查f x 在x x0左右的符号 左正右负 f x 在x x0处取极大值 左负右正 f x 在x x0处取极小值 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 2 将y f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例3 2012年高考北京卷 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 解析 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得a 3 b 3 答案 d 则当0 x 2时 g x 3 x 6 2 216 0 因此g x 在 0 2 内是递减函数 又由g 0 0 得g x 0 所以h x 0 因此h x 在 0 2 内是递减函数 又h 0 0 得h x 0 名师点睛 本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力 难度较大 本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决 高考对导数的应用的考查综合性较强 一般为解答题 着重考查以下几个方面 一是利用导数的